郭珂珂，张齐

（中南大学数学与统计学院，湖南长沙410083）

经典的平面多项式微分系统

的中心问题是寻找P（x，y）和Q（x，y）的系数满足的条件，使原点的邻域由系统的周期解覆盖。关于该问题的研究仅在P（x，y）和Q（x，y）为二次和三次齐次多项式的情况下分别由Dulac与Sibirskii解决。在P（x，y）和Q（x，y）的其它情形一直是悬而未决的公开问题。但其中不乏优秀的成果[1-3]。与中心问题密切相关的是平面多项式微分系统的积分问题。

最近，文[4]把经典的中心问题推广到p：-q共振的情形：

寻找p：-q共振中心必要条件通常有两种方法。第一种是形式级数法，即逐项确定假设的形式首次积分H（x，y）＝xqyp＋…的泰勒展开式的各项，使

此形式首次积分存在的必要条件是由形式级数定义的各阶鞍点量gk为零。用此方法判断原点是否为共振中心涉及到鞍点量gk的计算。另一种方法是规范形法，它需要计算由规范形定义的所谓的广义奇点量[5-6]。

关于共振奇点广义中心条件的研究有不少有趣的工作。当P（x，y）和Q（x，y）是特殊的实或复多项式且共振比p：-q是特定的值时，系统存在局部解析首次积分H（x，y）＝xqyp＋…（即存在p：-q共振中心）的条件已有不少的研究。二次多项式的情形有文[4-13]；三次的情形有文[14-20]；四次情形有文[21-22]；五次情形有文[23]。但是当共振比是一般的值时，即使是二次系统，共振中心问题仍然是一个公开问题。

值得一提的是，在文[5]中，肖和刘提出了一种比较容易的计算鞍点量的方法（在文[5]中称为广义奇点量）。他们考虑了以下一般的复自治微分系统

其中z，w，T是独立的复变量，aαβ，bαβ是复常数，p，q∈Z＋，（p，q）＝1。……