陆汉俊

(江苏省邗江中学(集团)北区校维扬中学 225100)

反比例函数是初中数学的重要内容之一，更是历年中考的热点.近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质，而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征，因此考察面较广又比较复杂.解决此类问题最常用的方法是根据“k”的几何意义，即模型法.而反比例函数具有两重性：代数表达式和几何图象，因此解决相关问题时，往往可以通过设出点的坐标，建立方程来求解，即坐标法(也称解析法). 笔者归纳出有以下三种题型可以使用坐标法来解决.

一、面积问题

图1

解析本题纷繁复杂.虽有面积特征，但与基本三角形转化联系不大，所以考虑用坐标法：设点坐标，建方程.

特征1：S△BCE=2S△ADE,E是中点.

而S△BCE=S△ACE,S△ADE=S△BDE，则S△ABC=2S△ABD.

因两三角形等高(均与CD相等)，

所以，AC=2BD.

特征2：CD=k.

CD=CO+DO=3x0⟹3x0=k=x0y0，则AC=y0=3.

特征3：AB=2AC.由两点间的距离公式，

评注通过设点的坐标，结合两点间的距离公式，可以解决很多关于线段关系问题，包括面积问题.

二、与几何图形相结合题

图2

(1)k的值为____；

(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是____.

如图2，过点A作AM⊥x轴于点M,过点C,作CN⊥x轴于点N.

评注大凡涉及到函数的动点问题，应该首先想到设点的坐标，建立方程，可以揭示问题的实质，更易于解决问题.

三、与一次函数相结合题

(1)求双曲线C及直线l2的解析式；

图3

(2)求证：PF2-PF1=MN=4.

(2)此问至少涉及五个点，其中三个动点.而三个动点P、M、N所在直线垂直于y轴，也就是说纵坐标相等.

综合分析，设点坐标，建方程.

但PF2-PF1如何表示呢？只要用两点间距离公式，但心中要有信念：最终未知数必然能抵消掉.

到了这一步，感觉进展下去有点难.怎么办呢？最终未知数必然能抵消掉.说明这个表达式很有可能是完全平方式.

综上，PF2-PF1=MN=4.

评注题目若涉及到多个动点问题，则要设主动点的坐标，从而根据动点之间的关系，得出其他从动点的坐标，问题就会迎刃而解.

从以上三例可以看出，抓住反比例函数的双重性，只要能设出点的坐标，通过列方程或关系式，很多反比例函数难题就会比较容易地得到解决.

参考文献：

[1]许磊.“反比例函数的图象与性质”教学设计[J].中国数学教育，2011(1-2)：32-34.

[2]杨晨光.“反比例函数的图象与性质”听课思考[J].中国数学教育，2012(6)：23-24.