湖南省衡阳市衡阳师范学院南岳学院 张 琴

“问题是数学的心脏，解决问题是数学的真谛”。近年来中考题考查商品的销售问题成为中考的一大热点，这种类型题目对初中数学中的方程、不等式、函数内容等都有涉及，既考查学生基础知识的掌握，又考查了学生的综合运用能力。此类问题题目信息量大，条件相对隐含，数量关系复杂，知识点广，综合性较强，学生容易混淆，甚至都读不懂题，往往成了学生解题的难点，从而使学生对此类问题产生畏惧感。笔者已整理好解决此类问题时， 只需弄清单件利润公式和总利润公式两种大类型，从而可以减轻学生的负担，取得了良好的效果。

一、模型研究

此类问题包含两种大类型：

类型一：用单件利润公式

所有的数学中的商品销售问题都可用利润公式：利润=售价-进价，利润=进价×利润率，用这一个或两个公式联合运用。

类型二：用总利润公式

（一）当有价格发生变化时，从整体思想考虑总利润：总利润=总售价-总进价。

（二）当价格规律不变时，用公式：总利润=（售价-进价）×销售量。

二、模型应用

类型一：用单件利润公式

例1衡阳市红星大市场某种品牌保温杯以相同的价格售出C、D两种型号，D型每件进价比C型多30元，若售出D型亏损20%，C型盈利30%。求C、D型号保温杯每件的进价分别是多少元？

解析：设C型保温杯进价为x元，则D型保温杯进价为（x+30）元，C、D售价为y元，则有：

解得x=48，y=62.4。即C每件进价48元，D每件进价78元。

点拨:售价-进价=利润=进价×利润率，将两个公式联合运用，把利润作为等量关系。

类型二：用总利润公式

例2山地自行车在中学生中受到较为普遍的欢迎，店家用132000元购进了一批山地自行车，结果供不应求，店家又用288000元购进了第二批山地自行车，所购数量是第一批购进量的2倍，但每辆贵了50元。

（1）该店家购进第一批山地自行车多少辆？

（2）若以相同标价销售购进的两批山地自行车，因为销量逐渐下降，店家则以八折优惠销售最后100件，若两批山地自行车全部售完，且利润率不高于40%（不考虑其他因素），那么每辆山地自行车标价至多是多少元？

解析：（1）设第一批是x辆，则第二批是 辆，由题意得解得x=240。

（2）设每辆山地自行车标价是a元，则有620辆按标价销售，100辆按标价的八折销售，总售价为：620a+100×0.8a；

总进价为：132000+288000。

由两批山地自行车售完利润率不高于40%，得：

（620a+100×0.8a）-（132000+288000）≤40%×（132000+288000），解得a≤840，

故每辆山地自行车标价至多为840元。

点拨:①当商品价格发生变化时，以整体思想考虑，总利润=总售价-总进价。

②当价格规律不变时，用公式：总利润=（售价-进价）×销售量。

例3深圳某企业从国外引进一批新型节能灯，其中一盏F型节能灯的进价比一盏E型节能灯的进价少20元。企业花160000元购买E型节能灯的数量是花75000元购买F型节能灯的数量的2倍。

（1）求E，F型节能灯的进价分别为多少元？

（2）已知该企业以售价为400元/盏卖出E型节能灯，以售价为410元/盏卖出F型节能灯，若该企业购进共250件E，F型节能灯且全部售出，其中E型的数量不大于F型的数量，且不小于80盏，设购进E型节能灯n盏，求该企业销售这批节能灯的利润f与n之间的函数关系式，并写出n的取值范围；

（3）在（2）的条件下，该企业决定每售出一盏E型节能灯，就拿利润中的b元捐赠给湖南某地区留守儿童，求该企业售完所有节能灯并捐献资金后获得的最大收益。

解析：（1）E型节能灯的进价320元，F型节能灯的进价340元。

（2）设E型商品n盏，则F型商品为（250-n）盏，

则f=（400-320）n+（410-340）（250-n），化简得：f=10n+17500，

又n≤250-n，80≤n，则80≤n≤125，

所以f=10n+175000（80≤n≤125）。

（3）f=10n+175000-nb=（10-b）n+17500（80≤n≤125）。

当0＜b＜10时，当n=125时利润最大，f=18750-125b；

当b=10时，利润最大f=17500；

当a＞10时，当n=80时利润最大，f=18300-80b。

点拨:①属于总利润中价格规律不变，则有：总利润=（售价-进价）×销售量。

②将利润部分减去捐赠留守儿童的总额bn，即结合一次函数的增减性，得最大收益。

因此，笔者把商品利润问题解题方法归纳为求单件利润或总利润两种大类型，让学生领会到解决所有利润问题的真谛不过只是这两种类型的变式，其本质还是不变的。题型的归纳使学生从“变”的题型中发现它的实质是“不变”的，从实质是“不变”的探究“变”的规律。其中，把同类型题方法归纳整合，这样能将学生带出题海战术和应试教育，不但为学生省下遇到新题时的重复精力，而且在老题型的思维发现上锻炼了学生的数学思维。

[1]赵连杰．销售问题中的“雷区”[J]．中学生数理化（七年级数学）（配合人教社教材），2017（11）．

[2]陈杨．关于数学思想方法教学的探讨[J]．数学通报，2000（03）．