罗文军

(甘肃省秦安县第二中学 741600)

一、数学文化的内涵

顾沛在《数学文化》一书中从课程角度解释了数学文化内涵 ：简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等.

2017年高考数学考试大纲修订后，在能力要求内涵方面，增加了对数学文化的要求—展现数学的科学价值和人文价值.随之2017年各地模考中，数学文化试题像雨后春笋般涌现出来，这些文化试题凝结了命题者的心血和智慧.本文撷取一些好的文化试题进行赏析.

二、模考试题中渗透数学文化

1.源自古色古香古文化的模考试题

中国古代数学取得了辉煌的成就，出现了刘徽、祖冲之、秦九韶等伟大的数学家，以及众多数学名著，其中《九章算术》是其中的代表作，这些中国古代数学名著是中华优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产等紧密结合，具有浓厚的实际背景，其体现出明显的问题式和综合性特征.从中国古代数学中挖掘素材，考查高中数学基本知识，既可以考查考生的认知水平，又可以引导考生关注中国传统文化.

《九章算术》在书中涉及到了农业、商业、工程、测量、方程解法以及直角三角形的性质等.它是中国古代数学知识的缩影，全书包含246道应用问题，分成九章编写.分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股.

历年高考中，源自《九章算术》的题目有2012年湖北理科第10题、2015年全国1卷文科第6题、2015年全国2卷文科第8题、2015年湖北卷理科19题、

例1 (2017届山东省枣庄模考)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图1，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC-A1B1C1的体积为( )

图1

解析由已知得几何体ABC-A1B1C1为直三棱柱，设BC=x，AC=y, 阳马B-A1ACC1的体积为

因为AB2=BC2+AC2，即x2+y2=4，

此时堑堵ABC-A1B1C1的体积为

评注此题背景源于《九章算术》第五章《商功》之[一五]：今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？之[一六]：今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何.考题将“堑堵”，“阳马”相结合，题目中已经对这两个生僻词语进行了现代文解释.首先表示出阳马的体积，再运用基本不等式，最后求出堑堵的体积.命题者将题目的背景取自于我国古代著名数学典籍《九章算术》中的堑堵和阳马，匠心独运地体现了我国古代数学成果的灿烂辉煌，拓宽了知识面，考查了考生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学的本质，提高数学素养，彰显数学文化，让“枯燥”的高三数学试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉.

例2 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )

评注此题源于《九章算术》第三章《衰分》之[四]，考查等差数列的前n项和公式.本题彰显出我们古代长期处于“男耕女织”的生产状态，从本题中我们体会到了数学与我国古代手工业的联系.

例3 (2017年新疆奎屯市月考)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为( )

解析:分别记齐王的上等马、中等马、下等马为A,B,C,田忌的上等马、中等马、下等马为a,b,c,则基本事件如下：

(Aa),(Ab),(Ac),(Ba),(Bb),(Bc),(Ca),(Cb),(Cc)，基本事件共有9个，田忌马获胜的事件有(Ba)，(Ca)，(Cb)，有3个.

评注本题以我国家喻户晓的历史故事“田忌赛马”为素材，考查了古典概型的概率公式.田忌是我国战国中期齐国的将领，他的军师孙膑是著名的军事家，孙膑的“斗马术”是我国古代运筹思想中争取总体最优的脍炙人口的著名范例.这个故事后来被传为千古佳话，成为军事上一条重要的用兵原则，即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利，从而达到以弱胜强的目的.他的基本思想是不强求一局的得失，而争取全盘的胜利，这是一个典型的博弈问题.

例4 (2017年四川省资阳市诊断考试)公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图2是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为________(参考数据：

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

图2

解析:第一次运行程序，

图3

2.源于名题

祖暅是我国南北朝杰出的数学家祖冲之之子.他沿用了刘徽“牟合方盖”的思想，在推导球体体积的过程中，提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异”,即夹在两个平行平面等高的立体，如果被平行于这两个平行平面的平面所截，截得的平面图形面积总相等，则这两个立体的体积相等.后人把这个原理称为“祖暅原理”，也叫“祖氏原理”.为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造一个几何体，此几何体必须符合两个条件：(1)它的计算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等.

祖暅原理在人教A版课本《必修数学2》第30页探究与发现《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》中专门做了介绍.2013年上海高考理科13题也以祖暅原理为背景.

以下来欣赏一道以祖暅原理为背景的模考试题.

图4 图5

解析:由已知椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，

构造模型如图6，图7，设OH=O′H′=h，

用S左和S右分别表示图6和图7中阴影部分的面积，

图6 图7

现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积.

赏析:祖暅原理进入考题，既关注了学生的文化意识，也关注了学生的创新精神和实践能力，也了解到了我国古代人民对数学的伟大贡献，有利于增强中华民族自豪感.

3.以形数为背景

形数理论可以追溯到毕达哥拉斯本人.用一点(或一个小石子)代表1，两点(或两个小石子)代表2，三点(或三个小石子)代表3，等等，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了形和数之间的联系.早期毕达哥拉斯学派已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数；晚期的毕达哥斯学派成员尼克麦丘以及稍后的泰恩则讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等)和立体数(包括立方数、棱锥数等等).

人教A版《数学必修5》中在“数列的概念与简单表示法”一节中以毕达哥斯学派发明的三角形数和正方形数引入了数列的概念.

历届高考中以形数为背景的试题有，2009年湖北理科10题、2012年湖北文科17题、2013年湖北理科14题.

下面看一道以形数为背景的试题.

例7 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图8中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{an}，则an-an-1=________(n≥2)；对n∈N*，an=________．

图8

解析:因为a1=1，a2=5，a3=12，a4=22,…

所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2,

赏析:本题考查了数列的应用；数列通项公式的求法.做这类题目最重要的就是寻找规律.此题通过寻找前一项与后一项差的规律，进而求出数列{an}的通项公式.本题内容丰富，以形数为载体，巧妙融合了数列、推理等数学知识和方法，考查归纳、观察、计算等能力.背景设计别具匠心，能力要求广泛，有效地考查了灵活运用数学知识和数学思想的能力；也体现了高中试题来源于生活实践、注重知识的发生发展过程的名题原则，也着力体现了高中数学试题的文化价值，真是形数结合百般好.

4.以角谷猜想为背景

评注:本题以角谷猜想为背景，考查了对数列递推公式的理解.将著名的角谷猜想进行转化，迁移到考题中，形成了以数学文化为背景的创新试题，以问题为中心，将数学知识、原理和方法融于一体，突出对数学思想方法的考查，强调数学的文化价值，蕴含浓厚数学文化气息的高中试题的出现，不仅给高中数学试题的命制注入了新鲜的血液，而且为高中数学教学提供了鲜活的素材，在数学学习过程中感受文化的熏陶，领略数学发展过程中的五彩斑斓，体会数学独特的文化魅力.

课本中也有角谷猜想的影子(新课标人教A版选修1-2第四章习题4.1):有这样一个游戏，每个人从任意一个正整数n开始，连续进行如下运算：若n是奇数，就把这个数乘以3再加上1；若n是偶数，就把这个数除以2.这样演算下去，直到第一次得到1为止，设计一个流程图，表示这个游戏的过程.

历年高考中以角谷猜想为背景的题有2009年湖北理科15、2013年湖北理科12.

三、高考考试大纲中增加对数学文化要求的价值以及备考策略

2003年版的《普通高中数学新课程标准》中提出的新课程标准理念之一为：体现数学的文化价值.但在具体教学中，大多学校鉴于高考没有对数学文化提出要求，因此课本中涉及数学文化的阅读与思考、探究与发现以及人教A版选修3-1《数学史选讲》在教学中都没有开展,造成了不知道《九章算术》的高中生大有人在.高考是“指挥棒”，考纲修订后增加对数学文化的要求，对高中教学具有很好的导向作用，因此我们应该为数学文化的考查点赞.

数学教育不可能完全割裂历史.从象形符号到算筹记数再到计算，中国的数学历史极其悠久.无论从理论层面或是实践层面，中国古代数学如今仍有研究价值和现实意义.抛弃自古至今的经典，会让中华文化断裂.以数学文化为背景命题，为高考注入了新的活力.

数学文化可以锻炼学生的思维能力.数学文化是数学发展的必然，并对数学思想方法有着深远的影响.数学文化中包含的数学思想体系，是千百年来数学发展的结晶；而数学思想不断的演化，又促进着数学文化为适应不同的历史背景而不断更新.每一个数学知识都有着其背景和文化，因此在授课的时候，教师可以提前让学生对一个知识找找其背景或者创作这个知识或公式的故事.让学生在故事中体会数学的魅力和文化，在以后的学习中，潜移默化的受这些文化所影响，自然而然地就有了一定的思维能力，从而提高学生对各个学科的学习能力.

数学文化可以加强学生创新能力.很多的数学知识都是数学家的灵光一现而产生的.通过这样的背景，也可以让学生更注意观察和创新.如创作了数学原理的高斯，就是通过观察和创新，在只有8岁的时候就发现了累加公式.在平时的授课中，遇到有这样背景的知识点或数学公式时，可以将这样的数学文化引出，既吸引学生的注意力，又能很好地将这种创新能力注入给学生.

以上数学文化试题虽然以数学史、数学家、著名定理和猜想为背景，其中“祖暅原理”、“割圆术”、“毕达哥拉斯形数”、“角谷猜想”、“赵爽弦图”都可以在课本中找到影子，但考查的是高中数学中基本知识和基本思想方法.因此在复习备考中，一线教师要引导学生以课本为策源地，在平时的教学中渗透数学文化，将数学文化融入教学，使新课标理念落到实处，不但可以提高学生的数学学习兴趣，还可以有助于提高学生的数学素养，有助于引导学生思考、领悟和汲取含在传统数学文化中的民族精神和民族智慧，形成现实生活与优秀传统文化的互动，潜移默化地增加了学生的爱国主义情感.

参考文献：

[1]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社,

2008.

[2]陈昂，任子朝.突出理性思维 弘扬数学文化[J].中国考试，2015(3)：10-14.

[3]梅磊，史嘉.例谈数学文化融入高考试题的意义和途径[J].中学数学教学参考：上旬，2015(1/2)：16-20.