苏保明

(云南省红河州蒙自市蒙自一中新校区 661100)

在平面向量中有一类关于两个向量平行(或共线)的问题，常常出现在高考真题中，其题目简单朴实，解题思路却灵活多样，求解过程妙趣横生，能更好地考查学生综合应用数学知识解决具体问题的能力，本文列举一道2016年的高考题介绍一题多解.

题目(2016年高考新课标Ⅱ卷文科数学)已知向量a=(m,4),b=(3,-2)且a∥b，则m=________.

这是一道以向量知识为背景的选择题，虽然试题内容朴实、形式平和，但解题方法灵活巧妙.如果我们略加思考，进行追本溯源，那么此高考题的根源来于“普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教版)”中的三个例(习)题：

(1)P98例6：已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，求y.

(2)P101习题2.3A组5：n为何值时，a=(2,3)与b=(x,-6)共线？

(3)P118复习参考题A组8：n为何值时，向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同？

经过笔者的认真思考和研究，给出上述高考题的几种解法.

方法一：利用向量平行的坐标公式

思路点拨利用向量平行的坐标公式：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.

解法1 因为a=(m,4),b=(3,-2) 且a∥b，

所以(-2)×m-3×4=0，所以m=-6.故填：-6.

评注利用向量平行的坐标公式解决向量平行问题，是最基本的常规解法，属于通性通法.此法通俗易懂，务必熟练掌握.

方法二：利用向量共线定理

思路点拨利用向量共线定理：向量a与b(b≠0)共线，当且仅当有唯一实数λ，使a=λb.

解法2 因为a∥b，且b≠0,

所以当且仅当存在实数λ,使a=λb.

故填：-6.

评注向量共线定理是解决一切向量共线问题的最有效的方法，对于较为复杂的问题也不失为一种好方法，只有掌握其本质，才能运用自如.

方法三：利用直线的斜率

思路点拨如果同一平面内的三点共线，并且任意两点所在直线的斜率存在，那么任意两点所在直线的斜率相等.

解法3 设a和b的始点都是原点O(0,0)，则a和b的终点分别是A(m,4),B(3,-2).

因为a∥b，且有公共始点O，所以直线OA与直线OB重合,

评注把向量平行问题转化为向量所在直线平行(或共线)问题，利用斜率相等解决向量平行问题，不失为一种灵活的解题方法.

方法四：利用点与直线的位置关系

思路点拨如果同一平面内的三点共线，那么任意两点所在直线经过第三点.

解法4 设a和b的始点都是原点O(0,0)，则a和b的终点分别是A(m,4),B(3,-2).

因为a与b共线，且有公共始点O，所以点O、A、B三点共线.

因为点B(3,-2)在直线OA上,

解得m=-6.故填:-6.

评注借用三点共线的特殊情形“任意两点所在直线经过第三点”这一结论，巧妙地与向量平行“牵手”求出m的值，从而进一步证实了向量平行问题与直线平行(或共线)问题的内在关系和紧密联系.

方法五：利用点到直线的距离

思路点拨如果同一平面内的三点共线，那么任意一点到另外两点所在直线的距离等于0.

解法5 设a和b的始点都是原点O(0,0)，则a和b的终点分别是A(m,4),B(3,-2),

因为a与b共线，且有公共始点O，所以点O、A、B三点共线，

所以点B到直线OA的距离为

所以|12+2m|=0，解得m=-6.故填：-6.

评注借助三点共线的巧妙方法“任意一点到另外两点所在直线的距离等于0”，巧妙地与向量平行“联手” 求出m的值，此法需要同学们在平时的解题过程中加以分析、思考和归纳总结，解题时才能运用自如.

方法六：利用两直线重合的内在关系

思路点拨如果同一平面内的三点共线，那么任意两点所在直线的未知数的系数分别对应相等，且常数项对应相等.

解法6 设a和b的始点都是原点O(0,0)，则a和b的终点分别是A(m,4),B(3,-2)

因为a与b共线，且有公共始点O，所以点O、A、B三点共线，

因为直线OA与直线OB重合，所以未知数x与y的系数分别相等，

所以-m=6，即m=-6.故填：-6.

评注借助两直线平行的内在关系“未知数x与y的系数分别相等，常数项对应相等”这一关系，巧妙地与向量平行“联姻” 求出m的值，此法灵活性较强，需要熟练掌握，才能巧妙运用.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书(必修)数学4(A版)[M].北京:人民教育出版社，2014.