■郑州市教研室 段全庆

数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,使代数问题几何化,几何问题代数化,通过数与形的互相转化来解决数学问题的一种重要的数学思想方法。

数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”。“以形助数”指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,例如,应用函数的图像来直观地说明函数的性质。

“以数辅形”指借助于数的精确性、规范性和严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,例如,应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则：

(1)等价性原则。在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞。有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应。

(2)双方性原则。既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探究,仅对代数问题进行几何分析容易出错。

(3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图像时应设法选择动直线与定二次曲线。

在高考试题中,选择题、填空题由于不要求写出解答过程,我们可以应用数形结合思想,通过数与形的转化,找到简捷的思路,快速而准确地作答;对于要求完整地写出解题过程的解答题,数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程,快速准确地分析问题、解决问题。……