时统业，李 军，李 鼎



与HM凸函数有关的若干积分不等式

*时统业，李 军，李 鼎

（海军指挥学院信息系，江苏，南京 211800）

利用HM凸函数与凸函数的关系，证明了HM凸函数存在单侧导数，并通过不等式建立了HM凸函数与其单侧导数的联系。基于这些工作用普通数学分析的方法建立了HM凸函数的若干不等式。

HM凸函数；积分不等式；单侧导数

0 前言

近些年来，各种类型凸函数的概念被不断提出，比如几何凸函数[1]、GM-凸函数[2]、HM-凸函数[3]、调和平方-凸函数[4]、对数凸函数[5]、指数凸函数[6]、F-G广义凸函数[7]]等。与各种类型凸函数相关的不等式也被建立起来。本文仿照文献[8-9]的方法建立与HM-凸函数有关的不等式。

1 定义和引理

定义1[10]设()区间上有定义，()在上称为是凸(凹)函数，当且仅当对任意1，2∈，∈(0，1)，有

定义2[3]设Í(0,+∞)，：→(0,+∞)，若对任意1，2∈和任意∈[0,1]，存在∈R，使得

则称()是区间上的HM凸(凹)函数。其中，当>0时，称()是上的HM+-凸(凹)函数；当<0时，称()是上的HM--凸(凹)函数。

当=０时，HM-凸(凹)函数即为HG-凸凹函数。当=-1时，HM-凸(凹)函数即为HH凸(凹)函数。当=1时，HM-凸(凹)函数即为HA-凸(凹)函数。约定本文只讨论≠0的情形。

引理2[11]设()为区间上的凸函数，则()在开区间(，)Ì内处处存在左、右导数（从而处处连续)，且对，∈(，)，<，有

引理3[12]设()为[，]上的凸(凹)函数，则对任意∈[，]，∈(，)，有

引理4 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为HM+-凸(凹)函数，则

i)在(，)内任意点处的单侧导数存在；

ii) 当，∈(，)，<时，有

iii) 对任意∈[，]，∈(，)，有

由此证得式(1)成立。

由此证得式(2)成立。

注1 若：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为HM-凸(凹)函数，则引理4中的不等号反向。

≤

，

于是

对任意>>0，记

2 主要结果

定理1 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函数，则

推论1 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为单调增加的HM+-凸函数，则

则有

则有

受文献[6]的启发，由推论1得到推论2。

则有

其中

当……