徐艳松

【摘要】導数在高中数学解题中发挥着重要的作用，可以起到以简化繁的作用。本文首先介绍导数的相关知识，在对导数有了进一步了解之后，我们再探究导数在高中数学解题中的具体应用，譬如函数的图像、单调性等问题。

【关键词】导数；高中数学；解题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）35-0289-01

随着学习层次的深化，高中数学比初中数学更加具有深度、难度，导数的引入可以帮助学生轻松解决高中数学中的函数、不等式、数列等问题。因此，导数在近年的数学教学中所占据的地位越来越重要。

一、导数的由来

导数的历史，最早可以追溯到古希腊的阿基米德所在的时代，其中他所研究的抛物弓形、球等问题都有所涉及积分学问题，随着之后大量数学家不断开展研究工作，先后有所建树，微积分得到了进一步发展，其中牛顿的《流树法和无穷级数》以及德国的莱布尼茨，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》影响显著。

二、导数的定义

高中数学属于初等数学，在高中数学学习过程中，我们要明白的是其大部分都是可导函数，为了更加准确地解决相关数学问题，我们首先对其定义有个总体上的了解，在掌握定义的基础上进一步探究相关的数学问题。

1.导数第一定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义：当自变量x在x0处有增量△x（x0+△x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y=f（x0+△x）-f（x0）；如果△y与△x之比，当△x→0时极限存在，则称函数y=f（x），在点x0处可导并称这个极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义。

2.导数第二定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义：当自变量x在x0处有变化△x（x-x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y=f（x）-f（x0）；如果△y与△x之比，当△x→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为，函数y=f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义。

三、导数在高中数学函数解题中的应用

1.利用导数来做函数的图像

在接触导数知识之前，学生一般会采用描点的方法来作图。这种作图的方法，一方面呈现出最后的图像会比较粗糙，另一方面速度也比较慢。高考考试是有时间限制的，大多数学生在作图时花费的时间较长。针对一些复杂的函数而言，简单的描点方法也很难达到预想的效果。针对这种情况，导数显得更加具有意义。在运用导数方法作图的时候，一般分为六大步骤，其一，根据题意求出函数的定义范围，对所作的图有个总体上的范围划定；其二，判断函数的奇偶性以及周期性，寻找函数的规律以及相关特点；其三，找到函数的一些特殊点，譬如x轴与y轴之间的交点；其四，判断函数几个重要的数值，包括有单调区间、极值点等相对特殊的值；其五，探究渐近线；最后一步根据上述的判断以及求解方法画图。

2.利用导数求参数的值

在一些参数求解中，我们可以用导数来实现转化简单函数的目标，其应用原理如下：首先，我们确定其定义域。例如，y=x^2.定义域是（负无穷大，正无穷大）；之后进行求导y'=2x；第三步，求驻点，设y'=2x=0，得x=0；第四步，根据x=0进行划分区间，具体划分成（负无穷大，0]和[0，正无穷大）；之后根据区间进行判断增减函数，具体言之，若x在（负无穷大，0]上，y'=2x<0，得y是减函数；若x在[0，正无穷大）上，y'=2x>0，得y是增函数；在参数范围上，根据函数的具体设定进行应用上述方法，做到举一反三，尽管题目大同小异，但是解题原理始终不变的。

3.利用导数判断函数的单调性

首先计算函数f（x）的导数f'（x），然后进行根据函数的正负符号来判断，函数是增函数还是减函数，具体如之，设定区间为l；如果x∈I，f'（x）>0，那么函数f（x）是增函数；若x∈I时，f'（x）<0，那么f（x）是减函数。相比而言，导数求解更加简单直观，也方便学生们掌握。

4.利用导数求方程的根值

在求解方程的时候有个固定公式，但是计算量相对比较大，那么针对这种情况，我们可以采用函数的方法解决相关求解问题。

如果函数f（x）在已知区间内是单调函数，那么在这区间内至多是一个零点，之后根据函数的相关判断零点的方式方法判定零点是否存在。

如果函数f（x）在已知区间内不是单调函数，那么根据这个已知条件可以求出它的极值点和单调区间，之后根据求出来的数值，判断零点的个数。

四、导数在高中数学其它方面的应用

从总结近几年的高考数学来看，我们会发现，在不等式这部分一般存在综合性强，思维量大的特点。针对这个特点，借用导数解题相对更加容易一些。首先将不等式进行等价转换，之后根据不等式的特点构造出相应的函数，将其转化为函数之后，可以根据之前对导数与函数的研究进而进行解题。此外，关于数学中的数列问题、解析几何问题上，我们可以将其转换为我们熟悉的函数问题，然后根据题目要求进行相应的求解。一般涉及到的主要问题是求参数、单调性、求值（最值、极值等）这些问题，所以数学更重要的是学会举一反三，最主要的是融会贯通，发现它们之间的联系，根据这种联系进行相应地转换。

五、结语

导数属于高中数学中的一个重要内容，通过上述的探究，我们可以发现导数为数学问题的解决上带来了极大的便利。例如函数、不等式、数列等这些数学问题，在不断的学习探究中，会发现导数起到了一个桥梁的作用，实现将相对复杂的问题转换成我们所熟知的内容。一般情况下可以将函数与导数联系起来，根据题目要求进行相应的求解过程。从近几年的高考来看，导数已成为了一个热点。

参考文献

[1]周国球；《运用导数解题应注意几个方面》[J]；中学数学教学；2006你那1月.

[2]杜忠芬；《浅谈微积分在初等数学中的应用》[J]；同仁学院学报；2007年1月.

[3]杜明华；《新增内容导数在解题中的几点应用》[J]；新课程改革与实践；2009年4月.