摘要：数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法。本文试图用微积分知识探讨一些特殊数列求和的方法，从中可见高等数学与中学数学的密切联系。

关键词：数列；求和；通项

一、 微分知识在数列中的应用

首先证明一个等式：

1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+C3n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n。

事实上利用二项式定理有：

xn+1=[1+（x-1）]n+1=1+C1n+1（x-1）+C2n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n+1。

而（x-1）（1+x+x2+…+xn）=xn+1-1，

因而（x-1）（1+x+x2+…+xn）=C1n+1（x-1）+C2n+1（x-1）2+…+Cn+1n+1（x-1）n+1

当x≠1时，两边同除以x-1得：

1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+…+Cn+1n+1（x-1）n

而当x=1时，左边=n+1=C1n+1=右边

则恒有：1+x+x2+…+xn=C1n+1+C2n+1（x-1）+…+Cn+1n+1（x-1）n（Ⅰ）

从（Ⅰ）式出发利用微分知识可推出以下求和公式：

公式1：1+2+…+n=12n（n+1）。

对（Ⅰ）式两边求导则有：

1+2x+3x2+…+nxn-1=C2n+1+2C3n+2（x-1）+…+nCn+1n+1（x-1）n-1（Ⅱ）

令x=1则得：1+2+…+n=12n（n+1）。

公式2：1·2+2·3+3·4+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）。

由（Ⅰ）式可知：

1+x+x2+x3+…+xn+1=C1n+2+C2n+2（x-1）+…+Cn+2n+2（x-1）n+1

两边求二阶导数，则：

1·2+2·3x+…+（n+1）nxn-1=1·2C3n+2+2·3C4n+2（x-1）+…+（n+1）nCn+2n+2（x-1）n-1

令x=1，则1·2+2·3+3·4+…+n（n+1）=2C3n+2=13n（n+1）（n+2）。

公式3：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）。

由（Ⅱ）式可知：

x+2x2+3x3+…+nxn=[C2n+1+2C3n+1（x-1）+…+nCn+1n+1（x-1）n+1]·[（x-1）+1]

=C2n+1+（C2n+1+2C3n+1）（x-1）+（2C3n+1+3C4n+1）（x-1）2+…+nCn+1n+1（x-1）n

两边求导得：1+22x+32x2+…+n2xn-1

=（C2n+1+2C3n+1）+2（2C3n+1+3C4n+1）（x-1）+…+n2Cn+1n+1（x-1）n-1（Ⅲ）

令x=1，则：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

仿此，若（Ⅲ）式两边同时乘x求导后再令x=1，便会有：

公式4：13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2。

二、 积分知识在数列求和中的应用

首先由二项式定理：（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn

两边对x从0到1求积分，则：

∫10（1+x）ndx=∫10（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）dx

所以（1+x）n+1n+1|10=C0nx|10+12C1nx2|10+…+Cnnn+1xn+1|10

2n+1-1n+1=C0n+C1n2+C2n3+…+Cnnn+1

从而有：

公式5：C0n+C1n2+C2n3+…+Cnnn+1=2n+1-1n+1。

如果两边对x从0到2积分，则：∫20（1+x）ndx=∫20（C0n+C1nx+…+Cnnxn）dx

便可得到公式6：2C0n+22C1n2+23C2n3+…+2n+1Cnnn+1=3n+1-1n+1。

一般地便有：

公式7：kC0n+k2C1n2+k3C2n3+…+kn+1Cnnn+1=k+1n+1-1n+1（k∈N）。

由以上知识，解决下题：

例：θ≠2kπ（k∈N）且sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ=0，求证：

（n+1）sinnθ=nsin（n+1）θ。

其巧妙证法可为：设f（θ）=sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ

∫f（θ）dθ=∫（sinθ+2sin2θ+…+nsinnθ）dθ+C

=cosθ+cos2θ+…+cosnθ+C=-sinθ2+sin2n+12θ2sinθ2+C

由f（θ）=

-12cosθ2+cos2n+12θ·2n+12·

2sinθ2+sinθ2-sin2n+12θ·cosθ24sin2θ2=0

則：（n+1）sinnθ=nsin（n+1）θ

三、 小结

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，本文运用微积分知识解决数列求和的中遇到的问题，从中可见高等数学与初等数学的密切联系。本文未谈到的，将有待我们大家进一步研究。

参考文献：

[1]东北师大数学系编，刘玉链，傅仁沛著.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社（第三版），1992.

[2]人民教育出版社中学数学室编著，高级中学数学教科书[M].北京：人民教育出版社，2000.

[3]赵建刚.数列求和的几种思维方法[J].延安教育学院学报，1999，1.

[4]毛毓球，贾玉友.数列求和的若干方法[D].江苏教育学院，1997.

作者简介：

郑俊辉，浙江省嵊州市，嵊州市黄泽中学。