研究性课题：欧拉公式的发现

2018-05-14王国昌

学校教育研究 2018年13期

王国昌

一、教材内容分析

人教版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）·数学》第二册（下А）第九章9.9节研究性课题：多面体欧拉公式的发现。本节采用“研究性学习”的形式，注重强调发现的过程，有意识的培养学生探究问题的良好习惯，掌握一些研究问题的思想方法，并对提高协作能力具有重要的作用。

二、教学目标

1.知识目标：识记平面和多面体欧拉公式，了解公式的发现过程。

2.能力目标：了解数学概念和结论的产生过程，提高发现、提出、解决数学问题的能力；发展学生的创新意识和创新能力；进一步培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和逻辑思维能力以及人际交往协作能力。

3.情感目标：以平面和多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情，体验数学的简洁美和内在美，学习欧拉杰出的智慧、孜孜不倦的奋斗精神和严谨的科学态度。

三、教学重难点

1.重点：了解平面和简单多面体欧拉公式。

2.难点：领会公式发现过程的思想和方法。

四、学习者特征分析

高二学生已具备一定的数学基础，如平面几何的图形结构和性质，并在学完简单几何体之后进行的，对学生的能力层次要求不是太高。

五、教学策略选择与设计

⑴教材创新：①增加了平面欧拉公式V-E+F=1这一被教材所忽视的平面图形比长短曲直更本质的属性的探究；②涉及到图论（连通图等）的一些基本概念。

⑵教法设计：主要采用小组合作研究，进行主体式、启发式、对比式和直观演示法等。

⑶学法设计：由浅入深、模型及多媒体演示、分组讨论、特殊到一般、观察归纳等方法。

⑷教学基本形式

教师引导——学生讨论——再引导——再讨论——归纳总结。

六、教学环境及资源准备

1.教室或教学研究室。

2.相关几何模型和多媒体课件演示。

七、教学过程

1.介绍欧拉，引入课题

【教师活动】介绍欧拉：著名数学家欧拉（Euler，1707—1783），瑞士人。在数学家贝努利（Bernoulli）的赏识下开始学习数学，16岁就获硕士学位，毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。他首先使用f（x）表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位。在几何学中首先发现并证明了欧拉公式。数学中的欧拉方程、欧拉猜想、欧拉定理等有很多，其中一个特例：eiπ+1=0，它将数学里最重要的几个数字聯系到了一起，两个超越数：自然对数的底e和圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，反映了数学中的奇异美。

【学生活动】1.了解欧拉一生研究数学，对人类作出的巨大贡献。2.学习欧拉欧拉杰出的智慧、顽强的毅力、孜孜不倦的奋斗精神和崇尚科学道德精神。

【设计意图】在了解、学习欧拉的基础上，沿着他的足迹研究几何图形中的三要素：点、线、面之间数量关系的欧拉公式。

2.观察归纳，发现规律

（1）预备工作

【教师活动】指导学生分组，达到组间同质、组内异质。

【学生活动】小组分工：选出组长、计时员、记录员、发言人。

【设计意图】体现教师的主导作用和学生的主体作用。

【教师活动】问题：①三角形内角和等于多少？（简称180°定理）；②三角形顺着一个方向的外角之和等于多少？③凸n边形内角和公式是什么？顺着一个方向的外角之和又如何？

【学生活动】讨论：①如何用图形语言演示或作图？用字母符号语言证明的思路？②证明用到哪些知识点？证明的思想方法有哪些？③凸n边形内角和公式是什么？顺着一个方向的外角之和是多少？

【设计意图】①一组代表演示，教师动画总结（附图一）；二组代表证明，教师补充归纳（动画一）。

②借助180°定理，平角及互补角概念，：三组代言人证明（附图二），得出结论360°

③指导四组代表证明，教师总结（附图三），结论：内、外角和分别为：（n-2）180°、360°。