薛飞

现行普通高中课程标准实验教科书选修44《坐标系与参数方程》中第33页例3为：

如图， O是直角坐标原点，点A和点B是抛物线y2=2px（p>0）上原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

本题主要考察直线，抛物线的基础知识，考察由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能.

教材中给出的解答为：

根据条件，设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（2pt21，2pt1），（2pt22，2pt2）（t1≠t2）且（t1·t2≠0），则OM=（x，y），OA=（2pt21，2pt1），OB=（2pt22，2pt2），AB=（2p（t22-t21），2p（t2-t1））

因为OA⊥OB所以OA⊥OB，所以OA·OB=0，即（2pt1t2）2+（2p）2t1t2=0，所以t1t2=-1.①

因为OM⊥AB，所以OM·AB=0，

即2px（t22-t21）+2py（t2-t1）=0，所以

x（t1+t2）+y=0，即t1+t2=-yx（x≠0），②

因为AM=（x-2pt21，y-2pt1），MB=（2pt22-x，2pt2-y），且A，B，M三点共线，

所以（x-2pt21）（2pt2-y）=（y-2pt1）（2pt22-x），化简得y（t1+t2）-2pt1t2-x=0， ③

将①②代入③，得到y（-yx）+2p-x=0，即x2+y2-2px=0（x≠0）这就是点M的轨迹方程.

本题是由2000年春季高考试题（北京，安徽卷）改编而来的，当时命题组给出的解答为：

因为点A，B在抛物线y2=2px上，故设A（yA22P，yA），B（yB22p，yB），若再设OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，则kOA=yAyA22p=2pyA，kOB=2pyB.

由OA⊥OB得： kOA·kOB=4p2yAyB=-1…（1）；由点A在AB上，得直线AB方程为：（yA+yB）（y-yA）=2p（x-yA22p）…（2）；由OM⊥AB得直线OM方程为：y=yA+yB-2px…（3）.

设点M（x，y），则x，y满足⑵⑶两式，将⑵式两边同乘以-x2p，并利用⑶式整理得：x2pyA2+yyA-（x2+y2）=0…（4）.

由⑶⑷两式得-x2p+yByA-（x2+y2）=0；又由⑴式有yByA=-4p2.

所以x2+y2-2px=0.又因为A，B是原点以外的两点，所以x≠0.

所以，所求的軌迹为以（p，0）为圆心，以p为半径的圆，去掉坐标原点.

在题目中，有四个已知条件：①点A和点B是抛物线上的两个动点，②OA⊥OB，③OM⊥AB，④OM与AB相交于点M.上述两种解法大同小异，都是先利用了条件①，用两个参数设出了A，B的坐标，再利用其他的条件寻找出了参数之间的关系式而获解.但在寻找参数之间的关系时比较困难，并且本题的命题目的之一为考察学生化简方程的基本技能，但在教学实践中发现，上述解法中对关系式的处理技巧性过强，学生难以想到，不易掌握.习题课上，笔者把该题展示给……