吴成强 刘恒荣

立体几何中动点轨迹问题是一个有趣和值得研究的问题，在高考中也注重考查.关于动点轨迹的长度、面积、体积及它们的最值等度量问题的求解，不少学生还是感到有一些困难，其主要原因是对轨迹图形难以弄清.而要明了轨迹图形的形状，需要有一定的空间想象能力和逻辑推理能力，需要积累一定的解题经验，掌握一定的技巧和方法.本文对立体几何中轨迹度量问题做一些探究，起一点抛砖引玉的作用.

1动点轨迹的长度

动点轨迹的长度计算，关键是要弄清轨迹图形的形状.常见轨迹图形的长度计算，主要是线段、圆（或圆弧）的长度的计算.

例1已知四面体ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A的距离是233的点形成一条曲线，这条曲线长度是（）

A.32πB.3πC.536πD.33π

所以∠DAH=π6，所以∠EAH=π4-π6=π12.

同理∠GAF=π12，动点形成的轨迹图形为EF，FG，GH，HE，其中EF，EH，FG均是以A为圆心的圆弧，GH是以D为圆心的圆弧，轨迹长度为l=（π3+π12+π12）·233+π2·33=32π，故选A.

评注学生做这道题普遍感到困难的是弄不清轨迹图形的形状，尤其是GH弧，它是以D为圆心、DH为半径的圆弧，学生容易出错.这道题对空间想象能力有较高的要求.

图2例2正方体的棱长为3，A为顶点，P点在正方体表面上运动，PA=2，求P点运动轨迹长度.

解析如圖2所示，轨迹图形是由6条圆弧组成，不含A点的正方体三个面上运动轨迹为EN，FG，MH，其长度均为π2·1=π2，含A点的正方体三个面上运动轨迹为EF，GH，MN，其长度均为π6·2=π3，所以所求轨迹图形的长度为l=3×π2+3×π3=5π2.

评注本题用到分类讨论思想，分含A点的正方体三个面……