牛伟强 张丽玉

【摘要】不等式的证明方法灵活多样，因而证明不等式有利于培养学生的数学探究意识和数学探究能力.这篇文章首先探讨了一类条件可化为“∏x=1”的不等式研究的概况，其后给出了研究的主要结论，最后文末提出了三个猜想供有兴趣的读者进一步研究.

【关键词】不等式；∏x=1；述评

1引言

2003年安振平[1]提出问题（数学问题解答1435）：设a，b>0，求证：

aa+3b+b3a+b≥1.（1）

这个问题犹如一颗火星，引发了一系列相关的研究，见文[2-11].2006年贺中杰[12]提出问题（数学问题解答1613）：设a，b，c∈R+，λ≥0，求证：

a2+λb2a+b2+λc2b+c2+λa2c≥31+λ.

他用反证法证明了上述不等式并且指出原不等式其实可以推广到：设xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，i=1，2，…，n，n≥2，则：

∑ni=11+λ≥n1+λ.（2）

后来，蔡晓兰（2009）[13]又从几何角度给出了不等式（2）的一个证明，然而关于上述两个不等式的联系目前似乎尚未有人发现.

不等式（1）可以改写为：设xi∈R+，x1x2=1，则：

∑2i=1（1+3xi）-12≥21+3-12.

不等式（2）可以改写为：设xi∈R+，∏ni=1xi=1，λ≥0，则：∑ni=1（1+λxi）12≥n1+λ12.

观察可以发现上述两个不等式的形式几乎一模一样，这引起了我们对下列问题的深深思考.设xi∈R+，∏ni=1xi=1，那么λ和k满足什么样的条件时，则有：

∑ni=1（1+λxi）k≥n（1+λ）k.（*）

为了避免重复的工作，我们首先对不等式（*）相关的文献做了系统的梳理.

2研究概况蒋明斌（2004）[2]最早注意到了不等式（1），他对这个不等式进行了推广，得到如下两个优美的不等式.设a，b>0，若λ≥3，則：

aa+λb+bλa+b≥21+λ，（3）

若0<λ≤2，则：

aa+λb+bλa+b≤21+λ，（4）

李永利（2005）[3]对不等式（3）进行了研究，得到了一个指数推广的不等式.设a，b>0，n≥2且n∈N，若λ≥2n-1，则：

naa+λb+nbλa+b≥2n1+λ. （5）

上述不等式岳嵘（2007）[7]、李凤清（2014）[11]也都给出了证明，并且给出了一个更加完整的结果.郭要红（2006）[4]则对不等式（4）进行了研究，他用微分法证明了a，b>0，0<λ≤3时：

3aa+λb+3bλa+b≤231+λ.

最后，他还提出了一个漂亮的猜想：设a，b>0，n≥2且n∈N，若0<λ≤n，则：

naa+λb+nbλa+b≤2n1+λ. （6）

后来……