余旻昊，李军

(中国传媒大学理学院，北京 100024)

1 引言

信息融合在计算机、统计、金融、管理科学等各领域有着重要地位。近年来，积分作为一种融合工具广泛应用于信息融合理论[1]。加权平均法可认为是经典的线性积分在离散情形的应用。然而，线性的工具并不总能很好的拟合现实情况。对很多实际问题来说，使用非线性积分[2，3]作为融合工具往往更加适合实际情况。Choquet积分[2]是一类重要的非线性积分，基于Choquet积分的信息融合方法已得到广泛应用[4，5]。

本文中我们将进一步讨论Choquet积分[1，2，3]。我们将研究基于一个单调测度的最优测度[6]的Choquet 积分的性质。我们将利用最优测度的性质揭示这一类积分的特性；讨论基于一个单调测度μ的最优测度μ+的Choquet积分与基于这个单调测度μ的Choquet积分以及与其它非线性积分之间的关系[7]。在此基础上给出基于一个单调测度μ的最优测度μ+的Choquet积分的应用的例子。

2 准备知识

(1)若μ(φ)=0，则μ(X)>0；

μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)

μ(A∪B)≥μ(A)+μ(B)

其中右边的积分是关于α的黎曼积分，Fα={x：f(x)≥α}，α∈[0，∞)。

若X是有限集合，则Choquet积分可写作如下形式：

其中：

j=1，2，...，2n-1。

定义2.7[6]设μ是单调测度，对应于μ的最优测度记作μ⊕，定义如下：

3 基于最优测度的Choquet积分

若X是有限集合，则基于最优测度μ⊕的Choquet积分可写作如下形式：

为方便讨论，我们用Choquetμ⊕表示基于最优测度μ⊕的Choquet积分。

定理3.1 对任何单调测度μ，我们有以下关系式

证明：根据最右侧度的定义，对任何单调测度μ，都有μ≤μ⊕，因此，结论是明显的。

证明：对任取单调测度μ，若μ是超可加的，则有μ=μ⊕，且对任意Fα有：

μ(Fα)=μ⊕(Fα)

令f(α)=μ(Fα)，g(α)=μ⊕(Fα)，则这蕴含着：

f(α)=g(α)(a.e.)

故有：

即：

证毕。

定理3.3 对任何单调测度μ，有