潘 鹏雷晓燕张鹏飞吴神花

（1.广州地铁设计研究院有限公司，510010，广州；2.华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，330013，南昌∥第一作者，助理工程师）

随着我国高速铁路的发展，桥上无砟轨道得到了广泛应用。国内外有很多对桥上无砟轨道动力特性问题的研究：文献［1］研究了铁路桥梁动力学对线路上部建筑的影响；文献［2-4］提出车辆-轨道单元，利用有限元法求解动力学方程；文献［5-6］提出车桥振动理论，导出车桥时变系统的动力学方程；文献［7-8］从车桥大系统角度研究了高速铁路列车-轨道-桥梁动力相互作用问题。

本文为分析桥上无砟轨道的动力特性，提出了新型车辆单元和无砟轨道-桥梁单元，建立车辆-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合动力模型，并利用MATLAB软件编制计算程序，求解有限元数值方程。新型车辆单元在每个车轮下方附有一段钢轨。该段钢轨仅用于新型车辆单元和无砟轨道-桥梁单元的纵垂向耦合。无砟轨道-桥梁单元包含了钢轨、轨道板、底座板、桥面板及其相互作用的4层梁模型。

1 有限元模型

运用有限元法和Lagrange方程，基于新型车辆单元和无砟轨道-桥梁单元，建立车辆-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合系统动力分析模型。采用以下基本假设：

（1）仅考虑轮轨纵竖向动力效应。

（2）轨道和上部车辆结构沿线路方向左右对称，可取其半结构研究。

（3）上部结构为附有二系弹簧系统的模型，车体和转向架考虑伸缩振动、浮沉振动和点头振动。

（4）轮轨间为弹性接触。

（5）钢轨被离散为二维梁单元，轨下垫层的竖向弹性系数和阻尼系数分别用ky1和cy1表示，纵向弹性系数和阻尼系数分别用kx1和cx1表示。

（6）预制轨道板被离散为连续黏弹性支承的二维梁单元，预制轨道板下沥青水泥砂浆层的竖向支承弹性系数和阻尼系数分别用ky2和cy2表示，纵向支承弹性系数和阻尼系数分别用kx2和cx2表示。

（7）水硬性混凝土支承层被离散为连续黏弹性支承的二维梁单元，混凝土支承层下桥梁的竖向支承弹性系数和阻尼系数分别用ky3和cy3表示，纵向支承弹性系数和阻尼系数分别用kx3和cx3表示。

（8）桥梁被离散为二维梁单元。

1.1 无砟轨道-桥梁单元模型

无砟轨道-桥梁单元模型如图1所示。图1中：u1、u5为钢轨的纵向位移，v1、v5为钢轨的竖向位移，θ1、θ5为钢轨转角，u2、u6为轨道板的纵向位移，v2、v6为轨道板的竖向位移，θ2、θ6为轨道板转角，u3、u7为底座板的纵向位移，v3、v7为底座板的竖向位移，θ3、θ7为底座板转角，u4、u8为桥梁的纵向位移，v4、v8为桥梁的竖向位移，θ4、θ8为桥梁转角。

图1 无砟轨道-桥梁单元模型

无砟轨道-桥梁单元共有24个自由度，其单元结点位移定义为：

al=｛u1v1θ1u2v2θ2u3v3θ3u4v4θ4

u5v5θ5u6v6θ6u7v7θ7u8v8θ8｝T（1）

桥上CRTSⅡ型无砟轨道-桥梁单元的刚度矩阵kle表示为：

kle=kre+kse+kfe+kbe+k1ce+k2ce+k3ce（2）

式中：

kre——钢轨弯曲势能产生的刚度矩阵；

kse——预制轨道板弯曲势能产生的刚度矩阵；

kfe——混凝土支撑层弯曲势能产生的刚度矩阵；

kbe——桥梁势能产生的刚度矩阵；

k1ce——离散支撑弹簧的刚度矩阵；

k2ce——第一层连续弹性支撑弹簧的刚度矩阵；

k3ce——第二层连续弹性支撑弹簧的刚度矩阵。

桥上CRTSⅡ型无砟轨道-桥梁单元的质量矩阵mle表示为：

mle=mre+mse+mfe+mbe（3）

式中：

mre——钢轨弯曲动能产生的质量矩阵；

mse——预制轨道板弯曲动能产生的质量矩阵；

mfe——混凝土支撑层弯曲动能产生的质量矩阵；

mbe——桥梁弯曲动能产生的质量矩阵。

桥上CRTSⅡ型无砟轨道-桥梁单元的阻尼矩阵为：

cle=cbe+c1ce+c2ce+c3ce（4）

式中：

cbe——比例阻尼；

c1ce——离散支撑弹簧的阻尼矩阵；

c2ce——第一层连续支撑弹簧的阻尼矩阵；

c3ce——第二层连续支撑弹簧的阻尼矩阵。

1.2 新型车辆单元模型

新型车辆单元模型见图2。图2中：Mc和Jc分别为1/2车体的质量与转动惯量；Mt和Jt分别为1/2转向架的质量与转动惯量；Mwi（i=1，2，3，4）为第i个车轮的质量；kc为轮轨间赫兹接触刚度；ks1和ks2分别为1/2车辆的一、二系悬挂刚度；cs1和cs2分别为1/2车辆的一、二系悬挂阻尼；uc、vc和 θc分别为车体纵向伸缩位移、沉浮振动的竖向位移和点头振动的角位移；utj、vtj和θtj（j=1，2）分别为转向架j的纵向伸缩位移、沉浮振动的竖向位移和点头振动的角位移；uwi和vwi分别为第i个车轮的纵向伸缩位移和竖向位移；vci分别为在第i个车轮的轮轨接触处钢轨竖向位移；urn、vrn和θrn（n=1，2，…，8）分别为钢轨第n个结点的纵向伸缩位移、竖向位移和角位移。

图2 新型车辆单元模型

新型车辆单元共有41个自由度。定义新型车辆单元的节点位移向量为：

新型车辆单元的刚度矩阵为：

式中：

kve——车辆一、二系弹簧产生的刚度矩阵；

kc——位移差值函数产生的刚度矩阵。

新型车辆单元的质量矩阵为：

新型车辆单元的阻尼矩阵为：

式中：

cve——车辆一、二系弹簧产生的阻尼矩阵。

2 车辆-无砟轨道-桥梁耦合系统有限元方程

运用Lagrange方程，建立高速列车通过无砟轨道时的动力特性有限元方程，即：

式中：

L——Lagrange函数，L=T-Π，其中T为动能，Π为势能；

R——耗散能。

车辆-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合系统有限元方程包含两个单元，即新型车辆单元和无砟轨道-桥梁单元。新型车辆单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵分别见式（6）、（8）和（10）；无砟轨道-桥梁单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵分别见式（2）、（3）和（4）。利用标准有限元“对号入座”的方法可形成车辆-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合系统总刚度矩阵、总质量矩阵和总阻尼矩阵。从而得到该系统动力有限元方程为：

车辆-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合系统动力有限元方程数值解，可通过直接积分法（如Newmark积分法）实现。

针对上述列车-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合系统动力分析模型，运用MATLAB编制计算程序并进行检验计算。

3 桥上无砟轨道竖向动力特性分析

桥上无砟轨道结构动力特性按轨道平顺和轨道不平顺（德国低干扰谱）两种工况分别分析。

因本文所用模型考虑了伸缩振动、浮沉振动和点头振动，同时纵向振动与竖向振动两者之间互不影响，所以此模型可分别分析轨道结构纵向及竖向的受力特性。分析竖向动力特性时，纵向参数取值和竖向保持一致。

计算时，车辆选用CRH3型和谐号动车组，轨道结构选用桥上CRTSⅡ型轨道结构。具体相关参数见文献［4］。计算线路总长度为162.5 m，5跨桥梁，共划分250个有限元单元，每跨端部添加零位移竖向约束；取一节车辆，车速为250 km/h；计算的时间步长为10-3s。得到轨道不平顺谱如图3所示，轮轨相互作用力如图4所示。

图3 德国低干扰谱高低不平顺时程曲线

图4 轮轨相互作用力

3.1 梁端轨道结构动力特性

列车通过桥梁，其梁端位置处的钢轨、轨道板、底座板的竖向位移、速度、加速度如图5所示。在轨道平顺和不平顺两种工况下，梁端处轨道结构响应幅值见表1。

图5 梁端处不同状态下轨道结构动力特性时程曲线

表1 梁端处轨道结构竖向动力响应幅值

从图4、图5和表1可知：①每种工况下，梁端处钢轨、轨道板以及底座板的竖向位移、竖向加速度都是逐渐递减的；②轨道不平顺主要影响轨道结构的竖向位移和竖向加速度，其中对竖向加速度的影响尤为显著，比如钢轨的竖向加速度增加了6.5倍；③轨道不平顺对钢轨速度影响相对较大，而对轨道板和底座板基本没有影响；④由轮轨作用力图可知，轨道不平顺对轮轨作用力影响也比较大，幅值增加了50%左右。

3.2 跨中轨道结构动力特性

列车通过桥梁时，跨中处的钢轨、轨道板、底座板及桥面板的竖向位移、速度和加速度见图6。

在轨道平顺和不平顺两种工况下，跨中处轨道结构响应幅值见表2。

表2 跨中处轨道结构竖向动力响应幅值

图6 跨中处不同状态下轨道结构动力特性时程曲线

从图6和表2可以看出，①每种工况下，跨中位置处轨道结构以及桥梁的竖向位移、竖向加速度都是逐渐递减的；②轨道不平顺对竖向加速度影响很大，比如钢轨从10 m/s2增加到30 m/s2，轨道板增加了11倍；③桥梁跨中的动力响应较小，不平顺下加速度的幅值为0.4 m/s2；④与表1相比较，不平顺状态下钢轨、轨道板和底座板在梁端处的加速度更大，梁端钢轨、轨道板、底座板的竖向加速度分别是跨中的2.50倍、1.55倍、1.30倍左右。

4 结论

（1）本文运用新型车辆单元和无砟轨道-桥梁单元，建立列车-无砟轨道-桥梁纵垂向耦合动力分析模型时，只需将列车-无砟轨道-桥梁耦合系统离散成车辆单元和无砟轨道-桥梁单元。计算时只需要形成1次无砟轨道-桥梁系统的总刚度矩阵、总质量矩阵和总阻尼矩阵。在以后每一步计算中，仅组装车辆单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵即可。如此，大大提高了程序的运行速率。

（2）平顺状态下，运用本文建立的模型分析竖向动力特性，计算结果表明该模型及程序能够反映轨道结构的竖向振动响应，说明该方法的可行性。同时，该模型还考虑了伸缩振动，同时纵向、竖向两者之间互不影响，因此该模型可以分别分析轨道结构纵向、竖向的受力特性。

（3）轨道不平顺对轨道结构的加速度和轮轨作用力的影响较大，轮轨作用力增大了50%左右，梁端处钢轨的竖向加速度增加了6.5倍左右，跨中钢轨的竖向加速度从10 m/s2增加到30 m/s2。

（4）每种工况下，梁端和跨中位置处轨道结构的竖向位移、竖向加速度分别逐渐减小，梁端处轨道结构的振动及其位移变化都比跨中处大。

［1］ ZACHER M.铁路桥梁动力学及其对线路上部建筑的影响［J］.铁路工程师，2001，7（2）：29.

［2］ 雷晓燕.有限元法［M］.北京：中国铁道出版社，2000：167.

［3］ 雷晓燕，张斌，刘庆杰.轨道过渡段动力特性的有限元分析［J］.中国铁道科学，2009（5）：15.

［4］ 陈松.高架无砟轨道交通引起的环境振动研究［D］.南昌：华东交通大学，2012.

［5］ 曾庆元，杨平.形成矩阵的“对号入座”法则与桁梁空间分析的桁段有限元法［J］.铁道学报，1986（2）：48.

［6］ 曾庆元，周智辉，赫丹，等.列车-轨道（桥梁）系统横向振动稳定性分析［J］.铁道学报，2012（5）：86.

［7］ 翟婉明，夏禾.列车-轨道-桥梁动力相互作用理论与工程应用［M］.北京：科学出版社，2011：173.

［8］ 翟婉明，蔡成标，王开云.高速列车-轨道-桥梁动态相互作用原理及模型［J］.土木工程学报，2005（11）：132.