姜博龙， 刘维宁， 马 蒙， 孙晓静， 李明航(北京交通大学 土木建筑工程学院， 北京 100044)

随着城市轨道交通的蓬勃发展，线网日益加密，列车运行引起的环境振动对沿线居民的日常工作及生活、精密仪器的正常使用、古建筑和文物完整性的保护都造成一定的影响，因而引发广泛关注[1-2]。当线路临近敏感建筑，而轨道结构减振无法满足要求的情况下，采用传播路径隔振十分必要。

传播路径屏障隔振结构分为连续屏障和非连续屏障结构。连续屏障对短波具有较好的阻隔性能，而对于长波其适用性较差[3]。因此，诸多学者将研究目光投向一种具有周期性的非连续波屏障隔振结构，如排桩、孔列、加劲梁板、蜂窝结构、栅格结构等。Woods等[4]对排桩(孔)展开研究，辅以全息照相技术，发现圆柱桩(孔)径大于1/6入射波波长，且桩(孔)间净距小于1/4入射波波长的非连续排桩(孔)具有较好的隔振效果；Avlies等[5]按照多次散射与衍射的方法，研究了单排桩(孔)对纵波、横波以及瑞利波的多次散射问题；Takemiya[6]提出了改造波阻块(WIB)，称为蜂窝状波屏障，这种WIB利用散射原理，可以将入射波调制为短波，可获得较好的隔振效果；瑞典With C等[7]研究了哥德堡附近平行铁路的粉煤灰隔振排桩减振效果，发现在60 m范围内可降低41%～67%的速度峰值。在国内，高广运[3]突破Woods关于圆柱桩孔径大于1/6入射波波长的结论，提高了排桩的工程适用性；李志毅等[8]以瑞利波散射的积分方程为基础，对多排桩屏障的远场被动隔振效果进行三维分析，讨论了影响排桩隔振效果的各项因素。近年来，受到光子晶体和声子晶体的带隙特征启发，部分学者将周期结构应用于工程隔振(震)。程志宝[9]和黄建坤[10]等通过对周期性隔震基础和周期性排桩的衰减域计算，提出了土木工程领域隔震(振)的新型波屏障。然而利用衰减域特性、针对于轨道交通为振源引起的环境振动的周期性波屏障隔振研究还不充分。为此，本文利用基于Bloch-Floquet理论[11]的平面波展开法求解周期结构带隙(又称衰减域，衰减域范围内的振动无法透过周期结构继续传播)，提出具有低频、宽带特点的优势结构，并建立车-轨-隧道-地层-周期性波屏障耦合的三维有限元模型，验证衰减域的正确性，综合评价周期结构的隔振效果。

1 衰减域计算的平面波展开法

平面波展开法(PWE)[12-13]由波动方程出发，根据Bloch-Floquet理论将方程中的位移、弹性参数、密度等物理量在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，从而将波动方程转化为本征方程，所求得的本征值即为弹性波的本征频率。本文将围绕典型的二维周期性结构(结构的基本单元沿x、y两个方向周期排列)展开，弹性波在xoy平面内传播，平面内与平面外解耦，介质中的位移只与x、y坐标有关，而与z坐标无关，这样弹性波基本方程中所有对z求偏导的项全部为0。故可简化得到XY模式的矢量方程为

( 1 )

( 2 )

Z模式的标量方程为

( 3 )

式中：ρ为密度；λ、μ为Lame常数；u为质点位移。

周期结构中密度ρ、λ、μ等参数都是空间位置矢量r的周期函数，根据Bloch-Floquet理论可将上述物理量在倒格矢空间展开为

( 4 )

式中：G1为倒格矢；r=[xyz]T。

同样根据Bloch-Floquet理论，波动方程的解可写为

( 5 )

式中：G2为倒格矢;K为格矢。

将式( 5 )带入波动方程式( 1 )、式( 2 )，将结果写成简化的矩阵形式为

( 6 )

式中：G3=G2+G1；

[λG3-G2(K+G2)l(K+G3)j+

μG3-G2[(K+G2)j(K+G3)l]}

( 7 )

在局域共振型周期结构[14]中，密度和弹性常数的傅里叶展开系数定义为

( 8 )

式中：积分域为基本单元；S为基本单元面积；G为倒格矢。

对于附有填充材料的结构，fG形式为

( 9 )

由晶体结构的平移周期性和对称性可知，令波矢扫略对应基本晶格的第一简约布里渊区，可得到整个结构的频散曲线和衰减域特性。

2 算例分析

二维三组元局域共振型周期性排桩布置见图 1(a)，为三排套筒圆柱桩，桩(轴心)间距即周期常数为a=4 m，桩内半径R2=1.2 m填充材料厚度为R1-R2=0.4 m。

以桩为散射体，内芯所使用材料为混凝土，填充材料为铸铁，土为基体，材料参数见表 1。按照1节中的方法分别计算XY模式(平面内)和Z模式(平面外)衰减域。根据固体物理中的晶格理论[15]，此布置形式为六角晶格，见图 1(b)，阴影部分为其第一简约布里渊区，M、Г、X为区域顶点。将波矢扫略整个六角晶格的第一简约布里渊区即可获得其衰减域。衰减域计算结果见图2～图4。

表1 材料参数

图2～图4为三种桩-土局域共振型周期结构的衰减域，其灰色部分为完全衰减域AZ(Attenuation Zone)，说明此频率范围内的弹性波没有与之对应的波矢，即该频段的弹性波在此周期性波屏障中任何波矢方向无法传播。由图2～图4可见，各周期结构衰减域的起始频率LBF(Lower Bound Frequency)、截止频率UBF(Upper Bound Frequency)和衰减域宽度WAZ(Width of Attenuation Zone)。分析表明，上述结构具有良好的低频、宽带隔振效果；覆土、粉质黏土和卵石砂砾与套筒桩构成的三种周期波屏障无论是在平面内还是平面外，其第一完全衰减域的LBF逐步增大，带宽也逐步增加，这主要受散射体(土体)的弹性模量影响，降低散射体弹性模量可有效降低周期结构第一衰减域起始值，但同时缩小衰减域宽度，见表2；对于轨道交通引起的环境振动，影响范围主要在200 Hz以内，显著频率在20～80 Hz[16]，因此，20～80 Hz范围内的衰减域是被重点关注的，由表 2可以知道三种土-桩周期结构衰减域在20～80 Hz范围内的分布情况，覆土和粉质黏土与桩构成的周期结构在该频段内具有较好的隔振表现，卵石砂砾-桩结构衰减域落在此范围内宽度较小，因此在设计桩长时可考虑仅设置到粉质黏土埋置深度，由于覆土-桩周期波屏障具有更低频的隔振效果，可以考虑将其用于临近对低频振动较为敏感的建筑物周围的远场隔振，其平面外衰减域起始频率为16.04 Hz，可以考虑嵌于基础之下隔振。

表2 三种周期结构在20～80 Hz第一衰减域的分布情况 Hz

3 有限元模型验证

3.1 模型概况

为验证衰减域计算结果的正确性，分析周期排桩隔振效果，选取某地铁线路旁经科研院所楼宇作为案例研究背景，分别进行有限元建模计算和现场测试，场地测试数据用以校核数值模型。其线路走行与建筑物相对位置关系见图 5。

利用ABAQUS建立基底-隧道结构-周期排桩波屏障-地层三维动力有限元模型，见图 6。输入激励采用周期性车辆-轨道耦合解析模型，见图7，计算得到钢弹簧浮置板隔振器下的反力，并将该反力时程加载在基底上，拾取地表振动响应，预测并验证周期性排桩的隔振效果。本案例地铁隧道为两个平行的单洞单线盾构隧道(图6中仅示意单侧)，埋深为10.5 m，混凝土管片。盾构隧道断面内径为2.7 m，衬砌厚度为0.3 m。两个区间盾构隧道中线间距13 m。每一环由6个管片组成，纵向由螺栓连接。混凝土衬砌的弹性模量E=35 000 MPa，泊松比ν=0.25，密度ρ=2 500 kg/m3。隧道仰拱处灌注混凝土道床，基底回填及浮置板动弹性模量E=4.2×1 010 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2 500 kg/m3。计算时将土层简化为填土层、粉质黏土层、卵石砂砾层，土动力参数见表 1。桩为3排，布置形式见图1(a)，三排桩中距离隧道最近的一排，其轴心距右线隧道中心线距离为16.5 m。采用有限元法模拟空间的振动问题时，截断边界上产生反射，使得计算失真，为了避免产生影响，在计算模型边界处设置弹簧阻尼吸收边界。模型范围为100 m×60 m×24 m。

3.2 列车荷载计算

采用本课题组研制的列车-浮置板轨道动力相互作用仿真程序(STFSTI)[17]计算钢弹簧作用在基底的反力，并将其作为激励输入3.1节中的有限元模型。该程序运用无限-周期结构理论，考虑移动车辆状态激励与轨道结构不平顺的耦合方式，以及浮置板分段、隔振器支撑间距与轨道扣件间距不相等的轨道结构形式，给出了车轨耦合在波频域内的解析解，可直接求得浮置板隔振器的动反力，见图 7。

计算的车辆为B型车，钢轨和扣件基本计算参数见表 3，采用加厚设计的浮置板轨道道床板，行车速度为60 km/h，使用美国轨道谱。

表3 轨道、扣件基本参数

注：以上轨道参数均对应于两股钢轨。

图8为根据上述参数计算得到的基底受力时程与频谱，将作为输入3.1节中有限元模型的振源激励。

3.3 现场测试及模型校核

对工程背景中科研楼旁地表振动进行监测，具体测点布置见图5。用PB4测点处数据对有限元模型进行校核，确保模型的正确性及预测结果的准确性。测试主要仪器为：INV3060S型24位网络分布式同步采集仪，振动加速度采用LanceAS0115系列振动加速度传感器，量程0.12g，频率范围为0.2～600 Hz，灵敏度为35 113 mV/g左右(不同传感器有微小差别)，传感器使用前全部由国家权威检测部门重新标定。

将实际测试得到的地表振动与根据工程资料建立模型对应位置拾振点的振动量值对比，见图 9。在10～80 Hz范围内模型拾振点处与对应位置处实测结果吻合良好，此频段也是排桩波屏障振动衰减域所在频段，可确保预测模型的准确性，更好地验证周期波屏障衰减域的正确性。10 Hz以下较实测结果出现较大程度波动，计算值出现峰值，反映了浮置板轨道在7 Hz左右的计算固有频率，也间接地验证了模型的正确性。

3.4 结果分析

4 结论

利用基于Bloch-Floquet理论的平面波展开法求解周期波屏障(排桩-土系统)的衰减域，并将该周期性波屏障应用于某工程预测模型中，验证其衰减域并预测其隔振效果。研究发现：

(1) 通过对衰减域分析，发现相同排桩布置形式下，降低土体弹性模量可有效降低该周期结构第一衰减域起始值，但同时缩小其衰减域宽度；

(2) 覆土和粉质黏土与桩构成的周期结构在20～80 Hz频段内较卵石砂砾-桩周期结构具有更好的衰减域特性；

(3) 整体看，数值模型分析获得的衰减域与计算的带隙重叠区吻合良好，水平方向完全吻合，竖直方向受桩长制约，特定频段(31～37 Hz)波在桩底绕射效应明显；

(4) 首层土(覆土)的带隙起主要控制作用。

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