许伟奇，张 斌，李坤奇

(兰州交通大学，兰州 730070)

0 引 言

三相永磁同步电机(以下简称PMSM)具有结构简单，体积小，转动惯量小和功率因数大等突出优点，因此在雷达、航天、航空、数控机床、电动舵机、机器人等伺服领域得到了广泛应用[1-2]。高性能PMSM系统控制包括：矢量控制[3]、直接转矩控制[4]和模型预测控制[5]。近年来，学者提出了一种可优化的控制策略—有限控制集模型预测控制(以下简称FCS-MPC)[5]。常规FCS-MPC 策略需要预测所有基本电压矢量下电流在各时刻的采样值，从而增加了系统控制过程的计算量[6]。为了克服上述常规FCS-MPC缺点，张永昌等[7]提出了基于快速矢量选择的FCS-MPC策略，该方法能够相应地减小系统控制过程中的计算量，但是反电动势项的估计将会增加系统的复杂性和计算量，同时温度、饱和等因素使PMSM系统的不确定参数发生变化，从而导致系统的控制性能降低。针对上述问题，本文基于反双曲正弦函数的扩张状态观测器(以下简称ESO)对反电动势项和系统不确定项进行实时性观测，并构造出新的电流预测模型，采用基于ESO的FCS-MPC策略可以有效地抑制转矩和电流畸变、减轻系统计算量和自抗扰观测器的负担，从而提高了系统的控制精度。

目前PMSM的FCS-MPC系统中位置调节器一般采取PID算法，它具有结构简单、易于实现等优点，但是不同位置和不确定参数项将会影响伺服系统控制性能，从而降低了伺服系统的控制精度。近年来，现代控制策略(模型参考自适应[8]、滑模变结构[9]、Backstepping[10]和人工智能[11]等)被应用于PMSM伺服系统中，前两种方法需要已知的系统模型和干扰模型，所设计出的控制器比较复杂；滑模控制不依赖PMSM系统的数学模型，但其控制系统中存在的严重抖振问题还需解决；人工智能控制不需要精确的数学模型，并且具有较强的鲁棒性，但是该控制设计算法复杂性、计算量大以及专家常识的局限性，从而导致系统控制难度加大。文献[12]提出了基于反双曲正弦函数的跟踪微分器，可以快速、准确地跟踪微分信号。文献[13]提出了基于反双曲正弦函数的扩张状态观测器(ESO)，该观测器具有响应速度快、辨识精确高等优点，并且利用ESO的初始参数可有效地抑制微分幅值。本文将位置环和速度环作为整体，设计出基于反双曲正弦函数的自抗扰位置控制器，该控制方法不需要准确的数学模型，负载扰动由ADRC转子位置观测器进行前馈补偿，从而使系统具有响应快、无超调、抗干扰能力强和控制精度高的特点。

针对三相PMSM伺服系统，为了提高系统控制精度、增强鲁棒性和抗干扰能力，本文提出了基于反双曲正弦函数的PMSM伺服系统自抗扰FCS-MPC策略。

1 三相PMSM的数学模型

在两相同步旋转坐标系下，定子电流和机械角速度的PMSM状态方程：

式中:id，iq和ud，uq分别为定子电流和电压d，q轴分量；Rs为定子电阻；Ls为定子电感；ed，eq为反电动势；ωr为转子角速度；θe为转子位置；p为极对数；ψf为转子永久磁体磁链；TL为负载转矩；J为转动惯量；B为阻力摩擦系数。

2 基于反双曲正弦函数的PMSM伺服系统自抗扰FCS-MPC

针对三相PMSM伺服系统，采用基于反双曲正弦函数的自抗扰位置控制器，本文给出了如图1所示的基于反双曲正弦函数的自抗扰FCS-MPC PMSM伺服系统框图。

图1基于反双曲正弦函数的自抗扰FCS-MPC PMSM伺服系统框图

2.1 基于反双曲正弦函数的自抗扰位置控制器

2.1.1 基于反双曲正弦函数ADRC的数学模型

反双曲正弦函数arsh(x)为光滑连续的奇函数，自抗扰控制器(以下简称ADRC)包括：TD (跟踪微分器)、ESO(扩张状态观器)和NLSEF (非线性反馈控制律)3部分[12-14]。

假设二阶系统的离散状态方程：

式中：T是采样周期；c是控制增益；u(k)是控制系统输入量；f0(x1,x2)是PMSM系统确定部分项；f1(x1,x2,k)是PMSM系统不确定项部分。

假设w(k)=f1(x1,x2)+f2(x1,x2,k),w(k)为系统的总扰动,二阶被控对象的ADRC离散方程如下：

微分-跟踪器(TD):

式中：r(k)为输入信号；z11(k),z12(k)分别为二阶系统的状态变量；参数R>0,a1>0,a2>0,b1>0,b2>0。当R足够大时，式(3)的解z11(k)在任何时间内都能够逼近于输入信号r(k)。

构造式(2)的三阶扩张状态观测器(ESO) ：

式中：a3>0,a4>0,a5>0,b3>0,b4>0，通常选取b3和b4接近于1。适当的选取a3，a4，a5，且满足a3a4b3-a5b4>0，则式(4)可精确估计出式(3)的状态变量z11(k)，z12(k)与w(k)，即z21(k)→z11(k)，z22(k)→z12(k),z23(k)→w(k)。

非线性反馈控制律(NLSEF)：

式中：e0(k),e2(k)和e3(k)分别为积分、误差和微分误差值；选取b5，b6和b7接近于1；a6，a7和a8分别为积分增益、误差增益和微分增益。

2.1.2 基于ADRC的PMSM位置控制器

在同步旋转坐标下，根据式(1)可得到PMSM位置环的二阶动态数学模型如下：

令x1=θe,x2=ωr,f0(x1,x2)=-Bωr/J,b=1.5pψf/J,f1(x1,x2,t)=-TL/J,u=iq, 可得位置环的二阶离散状态方程如下：

假设系统存在位置传感器，ωr是已知信号。至此，位置控制器的二阶离散动态方程与式(2)相似，故可根据式(3)～式(5)和式(7)来设计出基于ADRC的位置环控制器，其结构如图2所示。

图2ADRC位置控制器结构框图

2.2 基于ESO的电流预测模型

常规FCS-MPC策略，因其系统复杂的运算及庞大的计算量，使得系统控制难度增加。文献[7]提出了基于快速矢量选择的FCS-MPC策略，可有效地减少了系统的计算量。但是基于平均值估计的反电动势项估计会增加系统的复杂性和计算量，同时降低PMSM伺服系统的控制精度。针对上述问题，本文提出了基于ESO的FCS-MPC策略。

根据式(1)PMSM定子电流状态方程和扩张状态观测器(ESO)的原理[13]，构造出一阶电流状态空间方程：

式中：ν1=[idiq]，us=[uduq]，h为反电动势项和系统不确定项；将h扩张为新的状态变量ν2，存在ν·2=q(t) 且q(t)有界。

式(9)的扩张方程：

式(10)是可观的，可构造出式(10)的二阶ESO：

式中：β1>0,β2>0,β3>0, 且满足β1β2>β3；z1为定子电流估计值，z2为h的估计值。

由式(1)和式(11)，本文采用二阶欧拉离散法构造出新的电流空间状态矢量预测方程：

/Ls

(12)

2.3 PMSM伺服系统FCS-MPC控制

对式(12)进一步化简：

本文构造出如下目标函数：

∈{U0,…,U7}

(15)

式中：uk为逆变器开关状态所对应的基本矢量电压。由式(15)可看出，本文改进型的FCS-MPC策略可通过计算d-q坐标系的理想参考电压矢量值与每个基本矢量电压最小选择最佳控制量，从而避免了每个采样时间内预测所有基本电压矢量所对应的定子电流值。

2.4 控制延迟补偿

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink环境下搭建图1的仿真模型，并对其进行仿真研究。PMSM伺服系统仿真参数如表1所示。为验证基于反双曲正弦函数的PMSM伺服系统自抗扰FCS-MPC方法的正确性和有效性，采用两种研究方案，第1种方案：基于反双曲正弦函数的自抗扰FCS-MPC方法就负载变化时的系统性能进行分析；第2种方案：采用同样的自抗扰位置控制器参数，分别构建文献[7]的FCS-MPC系统(系统Ⅰ)和改进型的FCS-MPC系统(系统Ⅱ)，并对其电机参数变化时的系统鲁棒性比较分析。

表1PMSM伺服系统参数

参数值参数值定子电阻Rs/Ω2．875转动惯量J/(kg·m2)0．0008绕组电感Ls/H0．0085额定转矩TN/(N·m)3额定功率PN/kW1．1额定转速ωr/(r·min-1)1500极对数p4

系统中电流环的周期为200μs，位置环的周期为2ms。上述两种仿真研究方案中涉及的参数取值如下：ADRC的参数：①式(3)的参数：R=1 000, a1=35, a2=35, b1=1.5, b2=1.5；②式(4)的参数：a3=300, a4=20 000, a5=400 000, b3=1.2, b4=1.5；③式(5)的参数:a6=300, a7=200, a8=10, b5=1.5, b6=1.5, b7=1.5。式(11)的参数：β1=300，β2=250，β3=1.5。

3.1 负载变化时系统性能

给定位置为3rad时，系统空载起动，在t=2s时突加额定负载(3N·m)，图3为系统位置响应曲线。由图3可知，系统能够准确快速跟踪至位置给定值，稳态精度高，无超调，同时具有较强的抗负载能力。

图3系统位置响应曲线

给定位置和负载都按照3sin(0.5t) 变化时，图4分别为系统位置、系统位置误差、负载和负载估计误差的响应曲线。

(a) 系统位置

(b) 系统位置误差

(c) 负载

(d) 负载估计误差

图4系统的响应曲线

图4(a)和图4(b)可看出，系统能够快速、准确地跟踪位置信号，且具有更小的位置跟踪误差；由图4(c)和图4(d)可知，ADRC中ESO观测出的负载与实际负载曲线基本重合，即ESO能准确地实时观测出负载扰动，并具有较高的负载辨识精度和较低的负载估计误差。

3.2 电机参数变化时的系统鲁棒性

文献[16]指出，预测电流型FCS-MPC会严重受到PMSM系统的定子电感和永磁体磁链等变化的影响。为了验证控制系统的鲁棒性，伺服系统位置θe设置为3sin(0.5t)。PMSM带载3sin(0.5t)起动，将定子电感从最初0.0085H降为0.0045H，永磁体磁链由最初的0.175Ω降至0.165Ω，转动惯量由最初0.001kg·m2降到0.000 8kg·m2；图5和图6为系统Ⅰ系统Ⅱ的系统位置、系统位置误差、扰动、d轴反电动势项和电磁转矩响应。

(a) 系统位置

(b) 系统位置误差

(c) 扰动

(d) d轴反电动势项

(e) 电磁转矩

图5系统Ⅰ的响应曲线

(a) 系统位置

(b) 系统位置误差

(c) 扰动

(d) d轴反电动势项

(e) 电磁转矩

图6系统Ⅱ的响应曲线

图5、图6为系统Ⅰ、Ⅱ的响应曲线。电机参数变化后，图5(a)、图6(a)和5(b)、图6(b)表明，系统位置输出未发生较大影响，依然能够快速准确跟踪至给定信号，并且系统Ⅱ具有更小的位置跟踪误差；由图5(c)、图6(c)可看出，系统Ⅱ的观测扰动与给定负载响应曲线几乎重合，而系统Ⅰ观测扰动和给定负载之间存在较大的估计误差；由图5(d)、图6(d)可看出，与系统Ⅰ相比，系统Ⅱ具有更平稳的d轴反电动势项，且具有更小的d轴反电动势项脉动；从图5(e)、图6(e)看出，与系统Ⅰ相比，系统Ⅱ具有更小的电磁转矩脉动。

综上所述，本文设计的自抗扰位置控制器能够快速恢复至位置给定信号，并且具有较强的抗负载能力、无超调。基于ESO的FCS-MPC策略，无论在参数变化还是参数未变化时，系统具有更小的转矩脉动、可有效地减轻系统计算量和自抗扰观测负担，同时实现了高精度的位置跟踪控制。

4 结 语

本文针对三相PMSM伺服系统，提出了基于反双曲正弦函数的自抗扰FCS-MPC策略。所设计出基于反双曲正弦函数的自抗扰位置控制器能够提高系统的控制精度；采用ESO的反电动势和不确定项观测器能够快速准确地估计系统反电动势和不确定项；改进型的FCS-MPC策略能有效减小转矩脉动和减轻系统计算量。仿真结果表明，该控制策略使PMSM伺服系统具有较强的位置跟踪控制精度、良好的动态性能、较强的抗负载能力和鲁棒性。

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