广东省华南师范大学附属中学(510630) 罗碎海

高中学生在学习函数的奇偶性与反函数时知道了函数图象的对称变换(点对称与线对称),在学习三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象时知道了函数图象的平移变换与伸缩变换,由此解决了解析几何中曲线的对称、平移、伸缩变换等问题.有人提出课本为什么没有旋转变换,知识很不系统.其实旋转变换在课本习题中出现过,而且高中课本中渗透了三种思路方法处理旋转问题,师生必须重视这个知识点.

1.课本第一次出现旋转变换

高中数学必修4是通过习题借助向量的旋转给出了坐标旋转变换的公式,它为我们处理曲线旋转问题提供了思路(向量法)与公式.

例1(原题再现:必修4-P113-B3)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量,叫做把点 B 绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.

即

2.旋转变换

(1)旋转变换定义:在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角,如果一个图形上的点A经过旋转变为点A′,那么这两个点叫做旋转的对应点.

旋转中心、旋转方向、旋转角度为旋转的三要素.

(2)旋转变换性质

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动,有以下性质:

①对应点到旋转中心的距离相等.

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

③旋转前后的图形全等,即旋转前后图形的大小和形状没有改变.

④旋转中心是唯一不动的点.

⑤对应边所在直线所构成的角为旋转角度.

从10 000个人中抽取1%等于要抽取100个人，为10 000个人制作10 000个签显然不太现实，即使制作出来了也很难进行均匀搅拌，随机数法的工作量也比较大．10 000个人做编号是必要的，否则无从抽取，问题是编号后如何抽取？学生所能想到的多半是根据编号的某种特征进行抽取，例如号码的奇偶性等．但由于每个人的编号已经确定了，根据编号的奇偶性抽样并非真正的随机抽样，而是一种有选择的抽样．

3.用旋转变换化简圆锥曲线方程

例1分析解答(1)由已知可得,将点,绕点A逆时针旋转,得

(2)设平面上曲线C上的点P(x,y),则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点.因为点P′在曲线x2−y2=3上,代入,即

例2将曲线绕坐标系原点顺时针旋转多大角可使曲线方程中消去交叉项(即xy项)?

图1

解析已知曲线顺时针旋转θ角,即所求曲线逆时针旋转θ角得到已知曲线.设所求曲线D上的任一点为Q(x,y),则其绕原点沿逆时针方向旋转θ后得到点Q′(xcosθ−y sinθ,xsinθ+y cosθ)在曲线上.代入得xy项的系数为

4.课本中另两个处理旋转变换的方法

(1)利用复数乘法的几何意义可进行旋转变换

在选修2-2中学到了复数,但复数的三角形式课本未讲,由于学习了复数的乘法与极坐标系,复数三角形式及其乘法就是很自然结果.记点Z1对应向量为,对应复数为z1=r1(cosθ1+isinθ1);点 Z2对应向量为,对应复数为z2=r2(cosθ2+isinθ2),则复数三角形式的乘法法则如下:即两个复数相乘等于模相乘、辐角相加.当r2=1时,复数相乘z1z2的几何意义就是:z1z2仍是一个复数,是将z1对应向量为绕原点O逆时针旋转θ2得到的端点Z所对应的复数.

利用复数乘法的几何意义可进行旋转变换.

例3将曲线绕坐标系原点逆时针旋转角,求旋转后的曲线方程.

分析设所求结果曲线上点对应复数为z=x+yi,已知曲线上点对应复数为z1=x1+y1i,辐角为的单位复数为.由题意可知,即

可得

(x1,y1)满足,代入,化简得4x2+y2=3.

(2)应用极坐标处理旋转问题

教材选修4-4极坐标系一节学习了点的极坐标与曲线的极坐标方程,用此知识就可解决曲线的旋转问题.

例4将椭圆x2+4y2=3绕中心逆时针旋转转π 3角,求所得的方程.

分析椭圆x2+4y2=3的中心在坐标系原点,化为极坐标方程为 ρ2(cos2θ+4sin2θ)=3,即

化简得

对于以上问题,主要理解其基本思想方法,不必把公式作为重点.旋转问题的三种方法比较,感到极坐标方法只有对绕极点旋转的问题有利,而且方程比较陌生;复数方法是课本没有我们引申的方法;相对向量的方法是比较好的方法,它可以处理绕任意一点的旋转问题,而且课本有专门的习题,足见它的重要性.课本的任何问题都不能忽视,它是我们进一步学习提高的基础.