等系数和线的应用

2018-04-23广东省英德中学513000陈国宗

中学数学研究(广东) 2018年5期

广东省英德中学(513000) 陈国宗

一、概述

平面向量是高中数学的一个重点知识,也是一种重要的解题工具,更是历年高考命题的热点.向量具有代数与几何的双重特性,因此在处理问题时既可以将向量问题代数化,也可以从数形结合角度进行分析.本文重点介绍利用等系数和线的方法解决向量线性表示中的系数和问题,并侧重于从数形结合思想分析问题,让读者体会该方法的直观性与简洁性.

二、基本理论

1.三点共线定理

图1

事实上,根据三点共线定理,我们还可以得到更为一般的结论.

2.等系数和线

图2

下面给出该结论的证明:

(1)充分性:已知x+y=k(k为定值)①当k=1时,根据三点共线定理知点C在直线AB上②当k/=1时,在动点C的轨迹上任取两点C1,C2.设.因为则所以即C1C2//AB,综上所述充分性成立.

图3

(2)必要性:①当点C在直线AB上时,根据三点共线定理易知x+y=1.②当点C在平行AB的直线上时,过点C作直线l,使l//AB,并分别交(所在直线的延长线)于点A′,B′.如图3所示.设因为A′,C,B′三点共线则.令x=λk,y=(1−λ)k,则x+y=k.综上所述必要性成立.

因此,我们称直线AB以及与AB平行的直线为等系数和线.

3.推论根据上面的证明过程,我们可以得到以下结论.

图4

三、等系数和线的应用-求系数和或系数和的取值范围.

问题一:x+y型.

例题1如图5所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为CD和BC的中点,若,则x+y=.

图5

图6

解如图6所示,连接EF,延长AB交直线EF于点 B′. 已知且E,F为中点.则

例题2(2017全国II卷12题改编)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心,且与BD相切的圆上.若则x+y的取值范围为.

图7

解如图7所示,过点C作直线l1//BD,作圆C的切线 l2且l2//BD,过点 A作BD的垂线分别交BD,l1,l2于点E,F,G.易知AE=EF=FG.当P落在直线BD上时,x+y=1.当P落在切线l2上时,.事实上,当P在圆C上运动时,等系数和线夹在直线BD与切线l2之间,故x+y的取值范围为[1,3].

点评利用等系数和线的方法处理形如的系数和问题的基本步骤:

①连接AB,构造直线AB

②连接(延长)OC交直线AB于点C′,则必要时,应利用平行线分线段成比例计算的值.

③对于x+y的取值范围问题,可以过动点C的轨迹内作l1//AB,l2//AB且l1[,l2分别]为距离O点最近与最远的两条平行线,则,其中d,d,d分别为点12O到直线AB,l1,l2的距离.

问题二:ax+by型.

例题3如图8所示,在平行四边形ABCD中,E,F