上海市松江二中(201600) 张忠旺

题目已知椭圆E:的离心率为,点A、B分别是椭圆的左右顶点,C是椭圆的上顶点,△ABC的面积为2.

(I)求椭圆E的方程;

(II)设P为第四象限内一点且在椭圆E上,直线PA与y轴交于点M,直线PC与x轴交于点N,求证:四边形ACNM的面积为定值;

(III)如图1,若Q是直线l:x=1上一动点,连接AQ交椭圆E于G,连接BQ交椭圆E于点H,连接GH,试探讨直线GH是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

图1

探究1对于任意一条垂直于x轴的直线,椭圆是否都有类似的性质呢?

利用《几何画板》实验:取直线l:x=m上一动点P,过椭圆的左顶点A与P的直线交椭圆于G,过椭圆的右顶点B与P的直线交椭圆于H,当P在直线l上运动时,直线GH过定点.

图2

命题1设椭圆的左右顶点分别为A、B,P是直线l:x=m(m/=0,±a)上一动点,连接AP交椭(圆E)于G,连接BP交椭圆E于点H,则直线

GH过定点.

证明设P(m,n),设G(x1,y1),H(x2,y2),AP:y=

故直线GH过定点

特别,当直线l为椭圆的准线时,直线GH恒过椭圆的焦点.

探究2通过《几何画板》实验发现,过点P与GB垂直的直线过x轴上的定点.

命题2设椭圆的离心率为e,左右顶点分别为A、B,P是直线l:x=m上一动点,连接AP交椭圆E于G,则过点P与GB垂直的直线过定点.

图3

可仿命题1直接证明.

探究3通过《几何画板》实验发现,直线AH与GB的交点Q在直线x=m上,且以PQ为直径的圆过定点.

命题3设椭圆E :的左右顶点分别为A、B,P是直线l:x=m(m/=0,±a)上一动点,连接AP交椭圆E于G,连接BP交椭圆E于点H,则直线GB与AH的交点Q在直线( l上,且当 |m|＞) a时,以 PQ为直径的圆过定点

图4

证明设P(m,n),设G(x1,y1),H(x2,y2),由命题1证明知

故GB与AH的交点在直线x=m上.又

PQ为直径的圆的方程为

探究4对于抛物线和双曲线是否有类似的性质呢?

当椭圆的右焦点趋向于无穷远时,椭圆就变成了抛物线,此时椭圆中过右顶点的直线BQ就演变成平行于x轴的直线.利用《几何画板》实验:取直线l:x=m上一动点Q,过抛物线顶点A与Q的直线交抛物线于G,过Q与抛物线的轴平行的直线交抛物线于H,当Q在直线l上运动时,直线GH过定点;直线OH与过G平行于x轴的直线的交点Q在直线x=m上,当m＜0时,以线段PQ为直径的圆过定点.

命题4设抛物线y2=2px(p＞0),P是直线l:x=m(m/=0)上一动点,连接OP交抛物线于G,过P作x轴的平行线交抛物线于H,则

(1)直线GH 过定点(−m,0);

(2)直线OH与过G平行于x轴的直线的交点Q在直线x=m上;

命题5设双曲线的左右顶点分别为A、B,P是直线l:x=m(m/=0,±a)上一动点,连接AP交双曲线于G,连接BP交双曲线于点H,则

(1)直线GH过定点

(3)直线GB与AH的交点P在直线x=m上;