王刘彭,　易年余

(湘潭大学 数学与计算科学学院，科学工程计算与数值仿真湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411105)

有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法，广泛应用于科学与工程计算的各领域.它的基本思想是分片函数(多项式)逼近与变分原理.随着泛函分析在偏微分方程逼近理论中的成熟应用，有限元方法与偏微分方程逼近完美结合，有限元方法的数学理论得到了蓬勃发展.自20世纪60年代开始，逐渐建立了有限元方法的先验误差估计理论[1-3]和后验误差估计理论[4-7].

有限元误差估计理论主要是基于误差方程和Galerkin正交性.设Th是区域Ω的一个正则剖分，Vh是定义在Th上的有限元空间.在能量范数意义下，注意到有限元解是有限元空间Vh中偏微分方程解的最佳逼近，即

特别地，取vh为u在Vh上的插值uI，可将有限元误差能量范数估计转化为插值误差估计

‖u-uh‖E≤‖u-uI‖E.

关于有限元误差的L2范数估计，一般是通过引入对偶问题，利用Aubin-Nitsche技巧将误差的L2范数转化为误差的能量范数控制，进而得到有限元误差L2范数的一个上界

‖u-uh‖≤Ch‖u-uh‖E≤Ch‖u-uI‖E.

设Ω⊂Rd(d=1,2,3)为d维空间中的一有界区域，其边界∂Ω是Lipschitz连续的.记Th为区域Ω上的一正则剖分，Vh⊂H1(Ω)是定义在网格Th上的连续分片线性有限元空间.

对任意的函数u∈L2(Ω)，其在有限元空间Vh上的L2投影记为Pu∈Vh，满足：

(u-Pu,vh)=0,∀vh∈Vh.

(1)

对于投影Pu,有

‖u‖2=‖Pu‖2+‖u-Pu‖2,∀u∈L2(Ω).

(2)

易知

‖Pu‖≤‖u‖,∀u∈L2(Ω),

(3)

当且仅当u∈Vh时，等式成立.

基于估计式(2),可以合理假设：存在常数0<θ<1，使得

‖Pu‖≤θ‖u‖,∀u∉Vh.

(4)

显然，在L2范数意义下，Pu是u在有限元空间Vh中的最佳逼近，即

(5)

因此，投影误差可由误差‖u-vh‖来估计.下面定理给出投影误差‖u-Pu‖与误差‖u-vh‖的比较结果.

定理1设u∈L2(Ω),Pu∈Vh为u的L2投影且满足假设(4)，则对任一vh∈Vh，

(6)

从而有

(7)

证明由三角不等式和(4)，对任意的vh∈Vh，有

‖u-vh‖≤‖u-Pu‖+‖Pu-vh‖=‖u-Pu‖+‖P(u-vh)‖≤

‖u-Pu‖+θ‖u-vh‖.

因此，(1-θ)‖u-vh‖≤‖u-Pu‖.即得(6).再结合(5)可得(7).

将定理1的结果应用到有限元的误差估计中，分别得到有限元误差L2范数和H1范数的估计.基于估计式(7)，可以得到有限元误差与插值误差在L2范数下的等价性，进一步基于插值误差的渐近展开式和Hessian重构方法，构造了一个后验误差估计子.

考虑如下模型问题：

(8)

(9)

a(uh,vh)=f(vh),∀vh∈Vh.

(10)

记uI∈Vh为u的分片线性插值，在定理1中分别取vh=uh和vh=uI可得

由上述两式，得到有限元误差‖u-uh‖和插值误差‖u-uI‖的等价性

‖u-uh‖≈‖u-uI‖.

(11)

因此，

(12)

可作为有限元误差L2范数的一个可靠且有效的误差指示子.对于问题(8)，定义能量范数如下：

c|u-uh|1≤‖u-uh‖E≤‖u-Pu‖E≤C|u-Pu|1.

(13)

由三角不等式，Vh空间上的逆估计以及‖u-uh‖与‖u-Pu‖的等价性，有

再利用对偶论证可得‖u-uh‖≤Ch|u-uh|1.结合上述两式，有|u-Pu|1≤C|u-uh|1,即得

‖u-Pu‖E≤C‖u-uh‖E.

(14)

由(13)和(14)，即得有限元误差‖u-uh‖E与投影误差‖u-Pu‖E的等价性：

‖u-uh‖E≈‖u-Pu‖E.

(15)

由插值误差估计理论，我们有

(16)

其中，(ξi,ηi),1≤i≤3介于点(x,y)和点 (xi,yi)所成线段上，φi(x,y)为顶点(xi,yi)对应的线性元基函数.

基于误差展开式(16)，可以得到单元误差估计的一个近似

其中，Hh(uh)表示由有限元解uh得到的Hessian重构，是D2u的分片常数近似.

(p(zi)-uh(zi))2.

则单元τ上重构的Hessian定义为

Hτ(uh):=2pτ.

基于以上的Hessian重构，我们可以构造相应的重构型后验误差估计子ητ

(17)

它是关于有限元误差的L2范数的一个可靠且有效的后验误差估计子.

我们测试了大量的数值算例来检验有限元L2范数误差的重构型误差估计子(17)的有效性.考虑如下椭圆偏微分方程

(18)

其中，∂Ω=ΓD∪ΓN，n为边界上的单位外法向量.我们应用自适应有限元方法求解上述偏微分方程，其中误差估计子采用(17)，网格加密方法分别考虑了二分法[15]和CfCVDT[16]方法.所选取的算例主要来自[17]，包括解含有大梯度问题，区域几何形状引起的奇性问题，界面奇性问题等.限于篇幅，我们仅列出了一个例子的结果.

例1考虑问题(18)，其中A=I是一个2×2的单位阵，b=0,Ω=(0,1)2,ΓD=∂Ω,真解

图1画出了解的图形，这个解是光滑的，但是有一个陡峭的内层，其中参数S反应内层斜坡的陡峭程度，本例中取S=60.图2画出了自适应网格，误差‖u-uh‖及误差估计子η，误差有效因子η/‖u-uh‖ 等图形.可以看到，误差估计子能够引导网格在内层处加密，且误差估计子是渐近准确的，误差‖u-uh‖=O(N-1)，达到了最优下降速度.

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