黄允浒　吐尔洪江·阿布都克力木　唐　泉　王　鑫　刘芳园

(新疆师范大学数学科学学院　新疆 乌鲁木齐 830017)

0　引　言

近年来,样条二进小波也开始较好地应用于人脸识别,信号奇异性检测，医学图像和遥感图像的增强与去噪等[1]。如何在提升图像对比度和细节信息的同时，降低图像的模糊程度和抑制噪声放大已成为研究热点。Mallat在文献[2]中提出用于数字图像的倍频程多分辨率分析法，但该方法不具有平移不变性。换句话说,对原始信号的平移代表相应小波系数的平移。平移不变性在图像处理中是一个至关重要的性质。为了用à trous算法对信号分解和重构，需要构造满足二进小波重构条件的二进小波滤波器[3]。任何二进小波均可以实现对信号的分解和重构,但并不是任何二进小波滤波器都能够满足实际应用的要求,往往要考虑正交性、对称性、紧支撑和高阶消失矩等特征。文献[4-6]提出基于à trous小波和拉普拉斯金字塔增强方法。实际上,不同于严格子带采样的离散小波变换DWT(Discrete Wave-let Transform),à trous算法是过采样的，省略抽样过程，可以使图像分解在频域近似不相连的带通到内，而不丢失高频细节的空间连贯性(平移不变性质)，如边缘和纹理。这种抽样过程是基本要求，因为严格的二次采样机制，空间上的变形，典型的振铃现象或者混叠效应会出现在增强结果中，产生轮廓和纹理的偏移或模糊。

现有的遥感图像增强的方法主要有变换域增强，空间域增强和模糊域增强等[7]。其中基于变换域增强方法主要基于多尺度分析，如傅里叶变换、小波变换、二进小波变换[8-9]、Contourlet变换[10]、非下采样Con-tourlet NSCT(Nonsubsampled Contourlet Transform)变换[11]等。而傅里叶变换在变换时会造成信号细节损失。小波变换只能描述点奇异性，往往使图像边缘变得粗糙。二进小波变换在分解和重构时未进行采样操作,因此图像(信号)在二进小波域表达是及其冗余的，在图像去噪、增强等众多领域的应用中平移不变性有着重要的意义。它保证了图像原有的重要信息的位置在二进小波域中不会有很大的偏移，图像在预处理时不会平滑掉某些重要信息，部分系数扰动不会引起重构图像的严重失真，可以有效避免由于非线性变换引起的视觉形变。NSCT克服了Contourlet变换由于缺少平移不变性，有效降低了信号在重构时引起的伪吉布斯振荡问题，且在保留图像细节信息同时能达到良好去噪效果，但其缺点是运算量大。相比之下，二进小波变换数学结构较为简单，运算复杂度更低，能提高算法的时间效率，适用于图像增强、去噪和融合领域。

基于空间域增强方法是直接对图像的灰度值进行处理。自Pal_King将模糊集理论成功应用于图像处理与模式识别以来, 人们提出各种算法对其进行改进。如李久贤等[18]提出模糊对比度增强概念将模糊集理论用于提高图像对比度。Tian等[12]使用三角形型隶属函数来避免Pal_King算法中低灰度值被硬性削为0的缺陷。Hasikin等[13]提出一种结合S-隶属度函数与信息熵作为隶属度参数的模糊增强方法，以此来增强低灰度像素值的对比度。模糊对比度增强是从局部增强图像细节信息,并且对图像噪声具有很好地抑制效果。利用本文方法对大量遥感图像进行实验分析，为避免主观性和经验主义带来的局限性，根据主观效果及清晰度、信息熵、信噪比(PSNR)和绝对均值差(MAE)作为对遥感图像的客观评价方式，并与目前图像处理中最具代表性的多尺度增强方法对比。实验结果表明，本文提出的方法在主观上能有效改善遥感图像的视觉效果，客观指标中，图像的清晰度，信噪比都有大幅提升。

1　算法原理与分析论

1.1　二进小波(DyWT)变换

二进小波变换是对连续小波变换的频域抽样。因此，它既弥补了连续小波变换在处理图像时所存在的不足，又继承了其平移不变性表示的优点，致使完备的子带系数适用于图像增强。由于该变换不需要严格的子采样，因此可以保留图像的细节信息，从而避免伪像和空间变形。二进小波平移不变性和各尺度上系数相关性，不会使图像在预处理时而平滑掉某些重要信息，部分系数扰动不会引起重构图像的严重失真，有效改善图增强过程中噪声放大，对比度差的问题。为了提高该算法的时间效率,本文采用二进小波变换快速算法——à trous算法[4, 5, 7]。该算法是在Mallat提出的二进小波变换基础上的改进，其基本思想并没有发生改变，由于能描述信号的局部特征，在一定程度上克服了Mallat小波变换单纯增强细节信息，存在噪声放大等问题。其基本思想是把信号或图像的高低频信息分离，将其分解为不同频率通道上的近似信号和小波平面。

通过利用二进小波变换域内数据表达很大冗余性,便于对每个尺度下的细节和概貌进行频谱分析，可以有效避免由于非线性变换在边缘不连续所引起的伪吉布斯现象。在相同误判概率下，二进小波变换可改变图像重建效果，可以降低图像在重建过程中产生的人工噪声。相比于其他去噪算法，二进小波变换的图像去噪方法对噪声水平有很强的稳定性。因此，现将一维à trous算法进行推广并将其应用于图像的变换和反变换过程中，本文利用二进小波来处理遥感图像，以求获得更高质量图像。

1.2　反锐化掩膜增强算法

反锐化掩膜算法是一种保留图像细节信息，增强边缘信息和达到灰度补偿的常用方法，以此降低边缘的模糊程度[15-16]。图像经过二进小波变换后系数主要表示图像边缘，而反锐化掩膜的目的就是为了增强图像边缘。其主要思想是将人为模糊后的图像与原始图像相减得到去模糊的图像，对去模糊图像乘以一个比例因子再加到原图上，即得到反锐化增强后的图像，同时保持近似图像信息不变。基本算法如下：

(1)

(2)

(3)

增强系数K由式(2)和式(3)得出，Wxy为各层小波系数，W(x,y) max,W(x,y) min分别为各层小波系数最大值和最小值，常数p根据不同的图像类型的需要设定，文中取p=0.675。本方法操作简单，能在一定程度突出图像边缘和细节，但其对系统噪声非常敏感，针对这个缺点，提出基于à trous算法的遥感图像增强算法，增强图像细节。

2　算法实现

2.1　低频子带模糊对比度增强

Pal等[17]于1981年首次在将模糊理论应用于图像增强中，并取得良好的效果，究其原因在于：图像的不确定性是由于图像模糊性导致的。因此，可以把图像的灰度认为是一模糊概念而采取模糊处理的技术。经典的Pal_King算法认为它是一种以幂函数的模糊化映射和对比加强算子来进行图像处理的一种方法，一幅大小为M×N,具有[0，L-1]个灰度级的遥感图像可以作为一个模糊点集看待：

(4)

(5)

对模糊对比度进行改进为：

(6)

式中：β为微调因子，根据大量实验结果显示，β取值过大，导致高灰度区域扩大，低灰度区域变小，使图像在对比度落差大的区域会产生模糊现象；若β过小高灰度区域变少，低灰度区域扩大，背景信息过增强，致使图像整体对比度下降。文中取β=0.4，为适应不同类型图像的处理，一般β取值为[0.3,0.5]，这样做使得Fe有了更明确的定义：即像素点xij隶属度与其邻域均值隶属度之差的绝对值相对于像素点灰度均值的隶属度的比值。

噪声具有很大随机性，在二进小波域中不具有固定的几何结构特征，经二进小波变换产生的低频子带中几乎不含噪声信息，它就像是源图像的缩略图，包含了原始输入图像边缘亮度等关键信息。它对原始图像最大影响是对比度，为了有效改善图像亮度分布均匀性，用线性拉伸方式提高图像整体对比度，有效改善遥感图像的对比度和暗部细节可视度。

经过二进小波反变换得到重构图像，经过以上步骤处理后图像基本上已经除去了光照和噪声的影响，但还是存在对比度较低，边缘不够清晰。因此可以直接利用模糊对比度增强来处理二进小波反变换后的图像，这样既能提高图像整体对比度又能避免噪声放大。算法分为以下几个步骤：

(1) 通过式(7)线性隶属度函数把图像变换到模糊域。

(7)

式中：xij为重构图像系数像素值，xmax和xmin分别为重构图像像素最大值和最小值。

(2) 利用式(6)计算各低频子带系数的模糊对比度。

(3) 对Fe进行非线性变换：

ψ(x)=-x4+4x3-6x2+4x

(8)

(4) 将改进的隶属度函数做对数域处理：

(9)

通过式(9)计算出的隶属函数值分布于[0,1]中，不会造成处理后相当多的灰度值被硬性切削为0，最大程度保留了表示图像边缘的低灰度值。且这样做有两大好处：对数处理更接近人眼亮度感知能力，可以将复杂的乘积运算变成简单的加减运算。

(5) 将隶属度函数从模糊域转回二进小波域:

(10)

2.2　高频子带抑噪处理

图像经二进小波变换后，高频子带系数包含图像中大量的细节信息和噪声，对高频子带系数调整目的是去除噪声，增强弱边缘和细节信息。本文选取如下连续非线性函数H(x)来调整高频子带系数：

(11)

Mij为尺度i，方向j的高频子带尺度系数中模的极大值。

sigm(x)=(1+e-x)-1

式中：Ni为i尺度子带大小，Li的值是与尺度相关的最重要参数，b2为控制着非线性增强函数的形状参数，控制着曲线斜率的变化。为保证Hij中的大部分系数能得到增强[18]，其增益倍数必须满足大于1，因此参数b2由下式自适应确定，即：

[sigm(c2(1-b2))-sigm(-c2(1+b2))]×

(12)

(13)

改进的阈值公式可表示为：

(14)

根据上述分析，高频子带系数可按下式进行调整

(15)

3　本文算法实现流程

图像增强算法按如下步骤进行：

(1) 对输入图像进行直方图均衡化，以提高遥感图像整体对比度。

(2) 取r=2,m=2的B-样条二进小波滤波器作为二进小波分解与重构基，按文献[14]中的式(1)-式(4)对直方图均衡化的图像进行二进小波变换，得到一个低频子带系数和多个高频子带系数。

(3) 通过式(5)-式(9)对低频子带系数进行模糊对比度增强；按照式(11)-式(15)对不同子带的高频系数进行Bayes阈值估计和非线性增益调整，得到对比度增强和噪声抑制的图像。

(4) 对处理后的低频子带系数和高频子带系数进行二进小波反变换，对逆变换回空间域得到的图像按照式(1)-式(3)进行反锐化掩膜增强方法增强图像的边缘和轮廓信息。

4　仿真实验与分析

为了检验本文算法对于遥感图像的增强效果，选取纹理信息较为丰富的图像，大小分别为512像素×512像素的城区遥感图像，并截取其中大小为256像素×256像素的土地遥感图像的一部分作为测试样本，实验中采用的滤波器为T.Abdukirim构造的二进小波滤波器[2]。选取具有紧支撑，对称性和高阶消失矩特点的B-样条二进小波滤波器(r=2,m=2)作为二进小波分解和重构的初始基。同时将本文方法与文献[8,11,15，20]的方法进行比较，并分别从客观和主观上分析提出的算法对性能进行评估。

因为仿真实验过程中，不同滤波器的选取，参数的选取和分解层数的确定，都直接影响到图像的视觉效果，分解层数不宜过多，否则图像会由于失去较多高频成分而模糊。所以本文所用的DyWT[8]、NSCT[11]和NSCT-fuzzy[20]方法均为3层分解。由于噪声主要集中在第一层，而第二层和第三层噪声相对较小，且消失矩特性本质上决定该小波逼近光滑函数的能力，一般小波消失矩越高，光滑函数在小波展开式中的零元就越多，其衰减速度越快，去噪效果越好。因此采用连续性较好、最高阶数为6、最低阶数为5的二次提升后的B-样条二进小波滤波器作为第一层的分解和重构基。选用一次提升和初始B-样条二进小波滤波器作为第二层和第三层的分解和重构基。通过主观和客观方式来比较各种算法的增强效果。主观评价主要通过视觉方式对比各种算法增强效果；选取清晰度,信息熵,绝对均值差(MAE)和信噪比(PSNR)作为对遥感图像的客观评价方式。清晰度也称平均梯度，它反映图像的纹理特征，其值越大说明图像越清晰；信噪比能客观反映出各算法的抗噪性能；绝对均值差反映图像对比度大小，其值越小表示图像的整体对比度越好。所有方法的实验平台与运行环境为Intel(R)Core(TM)i5 CPU@2 GHz/2 GB内存, PC机、MATLAB 2010a。

参数设置如下：基于NSCT变换与基于NSCT模糊对比度增强方法中，选用‘maxflat’滤波器进行尺度分解，非下采样滤波器组选用‘dmaxflat7’, 所对应的方向数目分别为8、16、16。各方法处理效果如图1、图2所示。

图1　城市遥感图像的5种增强方法结果对比

图2　土地遥感图像的5种增强方法结果对比

图1、图2中(a) 原始图像；(b) 二进小波变换方法[8];(c) NSCT方法[11]; (d) 反锐化掩膜方法[15]; (e) 基于NSCT模糊对比度增强[20];(f) 本文方法。从图1和图2增强结果可以发现，DyWT[8]方法、NSCT[11]方法、反锐化掩膜方法[15]和NSCT-fuzzy[20]方法均不同程度提升了图像的对比度，图像细节、纹理信息进一步得到改善。其中NSCT方法对部分细节描述不足，图像的纹理细节和总体对比度没有明显提高。DyWT方法提升了图像的可读性、层次感更好，但并未显著提高图像对比度。反锐化掩膜方法尽管在一定程度上提高了图像清晰度，增强了地貌的沟壑纹理细节，但对亮区的增强效果不佳，并未达到最优。NSCT-fuzzy在增强后的图像在对比度提升的同时，也导致图像中暗部细节丢失，且噪声也一起被放大，出现过度增强导致灰化现象，在视觉上出现失真，隐藏了许多细节信息。本文方法获得了最佳的视觉效果，较好地呈现遥感区域地形、地貌的沟壑纹理和细节信息，有效突出城市建筑、道路、阴影和背景部分,在有效提升对比度同时，能够对图像房屋，道路和土地进行清晰描述。

从视觉效果来分析实验有一定局限性，带有主观性和经验主义,然而在实际应用中遥感图像包含着丰富的空间高频分量和地貌地形信息。因此表1，表2给出了图1和图2的客观评价标准。表1、表2的数据结果客观上说明了各个方法的差别，文献[15]和文献[20]中的方法增强后的医学图像清晰度和灰度平均值与本文方法接近，但PSNR明显低于本文方法。本文提出的增强方法在绝对均值差(MAE)都低于其他算法，说明本文方法比其他方法对比度更高。

表1　对应图1的客观评价标准

表2　对应图2的客观评价标准

综上可知，本文的算法优于其他增强算法，取决于以下3个方面：(1) 充分利用二进小波平移不变性和各尺度上系数相关性，选择具有紧支撑，对称性和高阶消失矩特点的B-样条二进小波滤波器作为二进小波变变换的分解和重构基，有效避免了由于非线性变换在边缘不连续所引起的伪吉布斯现象。(2) 对高频子带信息进行Bayes阈值估计和非线性增益调整，有效增强遥感图像对比度和改善图增强过程中噪声放大，对比度差的问题。(3) 通过模糊对比度处理增强进一步改善遥感图像的整体对比度，对重构的子带系数利用反锐化掩膜增强图像边缘信息，降低边缘模糊程度，在一定程度上起到了灰度补偿作用，提高图像对比度的同时，更好地缓解了遥感图像边缘处引入噪声与遥感图像模糊间的矛盾。

5　结　语

本文在研究了二进小波变换快速算法和模糊对比度增强基础上，提出一种基于à trous算法的遥感图像模糊集增强算法。该方法利用二进小波变换，反锐化掩膜，模糊对比度增强的特点，增强图像边缘细节，在提高图像对比度的同时，更好地缓解了图像边缘处引入噪声与图像模糊间的矛盾。利用改进的带可调因子的Bayes阈值去噪法对高频子带系数抑噪处理，最大程度滤除由于图像本身的噪声和变化过程可能产生的噪声，并通过模糊对比度增强进一步提高图像全局对比度，可以在图像失真和噪声放大中寻找到平衡点。与目前图像处理中最具代表性的多尺度增强方法(二进小波变换、反锐化掩膜、NSCT变换和NSCT-fuzzy)相比，本文方法对遥感图像增强在主观上能使图像纹理细节信息更突出，对比度明显提高，视觉效果更好，客观上图像的清晰度和信噪比都有很大的提升。

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