王松春　张卫东　王勇　周盼贤

[摘要]《任意角的三角函数》不仅概念多，而且有的概念比较重要.研究《任意角的三角函数》的教学具有实际意义.

[关键词]任意角的三角函数；概念；解读；建议

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002102

《任意角的三角函数》是三角函数的核心概念，是一个承上启下的概念.“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，不存在商榷的问题.周期现象一般與周期运动有关，一个典型的例子便是“圆周上一点的运动”.在教学过程中，教师帮助学生明确三角函数的“函数”特征，确定哪些变量之间可以构成函数关系，将任意角的三角函数概念自然“产出”是本节课的着力点.教师应该将单位圆定义贯穿教学始终.单位圆不仅作为简化定义的工具，而且为后面三角函数线和三角函数图像的学习做铺垫.

一、任意角的三角函数概念在高中数学中的地位和作用

三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型.它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具.

任意角的三角函数是三角函数的核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点，由它可以导出三角函数线，三角函数定义域、值域、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数图像和性质等.同时它也是学习参数方程、平面向量、斜率等知识的基础.因此，任意角的三角函数概念是一个承上启下的核心概念.

二、任意角的三角函数概念内容解析

回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法.日出日落，四季更替……客观世界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象.周期现象一般与周期运动有关.

《任意角的三角函数》是人教A版《数学4》（必修）中的内容，是在学习了弧度制和任意角之后，将正弦、余弦、正切定义为以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数（这种定义法也叫单位圆定义法）.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数就可看成是以实数为自变量的函数.课本在习题旁白处还给出了终边定义法，用角终边上任意一点P（x，y）的坐标和点P到原点的距离r的比值来定义.

“单位圆定义法”的本质是：对于任意角α，它的终边与单位圆交点P（x，y）唯一确定.这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系.即角α（弧度）对应于点P的纵坐标y——正弦，角α（弧度）对应于点P的横坐标x——余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的.另外，“x=cosα，y=sinα是单位

圆的自然的动态描述.由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述.”其中，单位圆上点的坐标随着角α每隔2π（圆周长）而重复出现.即点绕圆周一圈而回到原来的位置.它非常直观地显示了这两个函数的周期性.正切的定义可以联系初中锐角三角函数的定义，类比给出y/x.教师还应该把握时机顺便点明当α为锐角时，单位圆定义法与初中锐角三角函数的定义并无矛盾.

“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的.采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，不存在商榷的问题.事实上，在“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值（如果有的话）都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角α，上面三个比值都是唯一确定的.这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为比值”是不失一般性的.另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了.

本节课的重点是理解任意角的三角函数的概念，并初步运用定义解决相关问题.其中，将“任意角的三角函数”概念自然“产出”是本节课的“着力点”.

三、高一学生学情分析

学生之前已经学习了任意角的概念，知道了角的概念推广是建立在需要数学地表示周期性运动的逻辑起点上，这为进一步研究任意角的三角函数提供逻辑起点.由于学生在初中学习了以直角三角形为载体的锐角三角函数，没有在函数观点层面上认识锐角的三角函数，由此产生任意角三角函数认识的负迁移，认为任意角三角函数就是求任意角三角函数值.这种对函数关系的认同是学生学习任意角三角函数概念的困难之一.我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”.学生学习任意角三角函数概念的另一个困难是对相关变量的确定.学生之前学习的其他基本初等函数（一次、二次函数，指数、对数函数）建模过程一般只涉及两个变量相比，质点在单位圆上运动变化时，涉及的变量多，相关变量的确定就可能感到无从下手.因此，在教学过程中，需要帮学生明确三角函数的“函数”特征，借助一般函数的定义，在众多变量中，通过甄别、筛查，确定哪些变量之间可以构成函数关系.

四、任意角的三角函数概念教学建议

1.以函数为主线.任意角的三角函数，其关键词“任意角”“三角”“函数”中，“函数”最为本质和重要.任意角的三角函数，是一个典型而重要的函数模型，其研究的一般过程与方法，应在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下，以构建匀速圆周运动的数学模型为目标，用函数的概念去同化任意角三角函数的概念.具体的，要让学生认识到它是数（其意义是角）到数（坐标或坐标的比值）的对应.

2.合理地看待“单位圆定义”.三角函数是描述周期现象的重要数学模型.周期现象一般与周期运动有关，一个典型的例子便是“圆周上一点的运动”.不失一般性，单位圆（半径为1的圆）上点P按怎样的规律不断重复出现？用什么样的数学模型来刻画呢？之前学习的其他基本初等函数（一次、二次函数，指数、对数函数）建模过程一般只涉及两个变量相比，质点在圆上运动变化时，涉及的变量多，相关变量的确定就可能感到无从下手.而引入单位圆定义能将确定变量关系的思维过程简化.教学中，教师可借助几何画板展示点在单位圆上运动时三角函数值的变化规律.

3.将单位圆定义贯穿教学始终.单位圆不仅能作为简化定义的工具，还可以为紧跟其后的三角函数线的学习打下基础.我们要把单位圆定义法贯穿三角函数学习的始终，并结合其对称性、直观性讨论函数的定义域，推导诱导公式等.

4.教学基本流程建议.（1）简单回顾，确立课题（三角函数是刻画周期现象的数学模型）；（2）提供背景，研究“原型”（圆周上质点运动位置研究，不失一般性，选单位圆）；（3）函数视角，探寻关系（从物理到数学，从运动到对应）；（4）同化顺应，概念建构（“函数”“任意角的三角函数”“锐角三角函数”关系探讨）；（5）坐标求解，回归定义（教材例题，体会定义）.

（责任编辑黄桂坚）