甘哲

数学是一门直观与抽象并存的学科，很多数学概念、公式、图形等都兼具直观可感与抽象概括的特点。客观地讲，教学时只重视直观或抽象中的一面是不符合数学规律的。数学课标（2011年版）中也明确提出要“处理好直观和抽象的关系”。直观向“实”，抽象向“虚”，“虚”“实”相容，学生的数学素养才能均衡发展。那么，不同的数学学习阶段，教师在教学中该如何处理好直观和抽象的关系呢？

注重基础，在直观感知中逐步渗透抽象思维

小学低年级学生的思维特点中，直观形象思维占主体地位。因此，在数学概念的建立、法则公式的推导、解答应用题的过程中，要让学生有充分的直观感知经验。直观感知是低年级学生掌握数学知识的基础，在感知的基础上，教师要及时进行抽象思维的渗透。否则，学生的思维只停留在表面的、肤浅的、支离破碎的現象上，对事物的本质认识不深，不能揭示出日常经验中的数学本质，也就不能从浅层感性认识上升到高度理性认识。

比如，在教学人教版数学一年级上册《1～5的认识》时，对于自然数1～5的学习虽然看起来很简单，但也应鼓励学生经历上述的抽象过程。课堂导入环节，教师引导学生观察课件或挂图（动物园图）：请大家仔细观察，你都发现了什么？图中都有谁，它们在做什么？

学生一开始只关注了图本身：天空中飘着白云，小鸟在飞翔，有大树，小兔在玩跷跷板，花丛中有各种颜色的花……这时，教师要适时增加要求：你看到的各种东西的数量是多少，用一句完整的话说出来。学生自然关注到图中事物的数量：天空中飘着2朵白云，5只小鸟在飞翔，地上有1棵大树，3只小兔在玩跷跷板，一共有4朵小花……教师还可以鼓励学生从日常生活中寻找数量为1～5的事物，如1个房间、2张椅子等。在这样具体可感的观察体验中，数的意识自然进入学生的脑海，学生进一步抽象出数的意义也就有了基础。

等学生感受到了足够的直观信息之后，教师要进一步引导：“1棵大树、1个小朋友、1栋房子虽然看上去不一样，但是都可以用数字‘1来表示。你能像老师这样，告诉同学们其他数字可以表示什么吗？”这样就让学生明确：虽然这些事物有很多不同，但它们的数量相同，都可以把数量抽象出来用自然数1～5来表示。

又如，“加法交换律”这一概念的建立，开始时也可以从具体事物入手感知：1个气球加2个气球等于2个气球加1个气球，由此得出1+2=2+1，从而推导出“交换加数的位置和不变”的结论；在多次直观感知的基础上，教师再引导学生将数字抽象为字母，总结出加法交换律：a+b=b+a。

小学数学知识大都是采取逐步渗透的方法，由具体到半具体半抽象，再到抽象。这样的学习过程容易被小学生所接受，并能收到良好的反馈效果。

映照现实，用直观方法辅助抽象知识的理解

随着学习内容的深入，学生的数学思维发展到一定程度，思维上体现出抽象性与形象性的综合特征，且抽象性、逻辑性逐渐成为思维的主要品质。但笔者认为，完全脱离现实、只要求学生抽象理解数学知识的做法是不可取的。日常教学中，恰到好处的直观手段更有利于学生理解抽象的知识内容。教师应用直观的教学手段增强学生对数学知识的理解，综合发展学生的认知能力。

如，在证明“多边形外角和等于360°”时，教师可以通过多媒体展示如下图形变化过程：

这一变化过程无须过多证明，直观解释了“多边形外角和等于360°”这一定理。

直观与抽象是数学思维相辅相成的两个方面，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行思考，可以获得更深入的认识，不仅有利于问题的解决，还培养了学生的整体思维能力，这也是培养学生数学核心素养的应有之义。

（作者单位：湖南教育出版社）