马永刚,张启敏,刘俊梅

(1.宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021)

(2.榆林学院数学与统计学院,陕西榆林 719000)

1　引言

随机微分方程是近几年热门的数学学科,它是微分方程、动力系统及随机分析相互交叉的学科.在实际应用中,随机微分方程的参数一般是未知的,因此参数估计问题成为一个重要的研究方向.关于此类方程参数估计问题已有很多结果,见文献[1–3,9]等.在文献[1]中,Bishwal详细介绍了参数估计的理论方法和技巧,并运用到各种随机模型中.在文献[3]中,作者基于采样的时间序列讨论了非线性随机微分方程的参数估计问题.

1926年意大利数学家Volterra提出著名的Lotka-Volterra微分方程模型,该模型引起众多生物学家、数学家极大的兴趣.Lotka-Volterra模型所表现的生态学现象,在自然界中处处可见.例如,病虫害的周期爆发,农作物的丰收年与低产年的周期循环,动物之间的捕食与被捕食等,这些现象都是Lotka-Volterra模型变化规律的具体展示.Lotka-Volterra模型的一般形式为[4]

其中αi,βi,γi(i=1,2)均为常数,α1与α2分别表示两种群的内禀增长率,β1与γ2分别表示种内作用系数,γ1与β2分别表示种间作用系数.就其生态意义可分为三类:竞争模型(αi＞ 0,βi＜ 0,γi＜ 0,i=1,2)、互惠模型 (αi＞ 0,βi＜ 0,γi＞ 0,i=1,2)、捕食 -被捕食模型(αi＞ 0,βi＜ 0,γ1＜ 0,γ2＞ 0,i=1,2).基于此模型,各种形式的Lotka-Volterra生态模型被提出,其中一类是受外界随机因素影响的Lotka-Volterra生态模型.下面研究白噪声扰动的Lotka-Volterra竞争模型[5]

其中r1,r2,a11,a12,a21,a22均为正常数,ω1(t),ω2(t)为白噪声且相互独立.许多学者对此模型进行了研究,见文献[4,5,6]等.其中最重要的结果之一,种群随机持久生存,需要满足下面条件

其中

当上述条件变为

两种群中至少有一个种群随机灭绝.

本文主要研究随机种群Lotka-Volterra竞争模型的参数估计,即对方程组(1.2)中参数r1,a11,a12,r2,a21,a22,σ1,σ2应用最小二乘法理论进行估计,得到较好的估计结果.主要结果是参数的点估计值和区间估计,同时获得影响估计区间长度的主要因素.最后给出了数值模拟,结果表明了该方法的可行性与有效性.

2　回归模型

其中方程组(2.1)可转化为

其中

进一步方程组(2.2)表示为

方程组(2.3)是简单的线性回归模型,应用线性回归理论的方法估计参数,估计过程基于最小二乘法,使下面两个式子的值越小越好

为计算方便,方程(2.3)可写成分块矩阵的形式

其中

在块矩阵中,子矩阵分别为

3　点估计

由多元线性回归理论的公式估计参数β和η:

记

故(3.1)式可进一步化简为

为了获得参数的置信区间,需要估计参数β和η的方差,方差估计公式为

估计得到,p为被估计参数个数.由(3.1),(3.3)式可得

等式(3.4),(3.5)化简得

定理3.1方程组(3.6)中分别为方程组(2.1)中参数的渐进无偏估计,即当n→∞,

证类似文献[7]证明.利用分别估计(3.2)式中参数得到被估参数的方差

4　区间估计

如果σ2已知,由最小二乘法回归理论[8],参数估计值ˆβ,ˆη的各分量都满足正态分布.当观察值的数量n足够大时,可由ˆσ2代替σ2,因此(1−α)的置信区间(CIs)分别为

下面给出具体数据,进行参数的估计.

例1在模型(1.2)式中,我们选择满足种群持久生存的数据进行模拟,即两种群随机持久存在的情形,其它状态的数据也可获得类似结论.假设参数真实值分别为r1=1,a11=0.3,a12=0.2,σ1=0.04,r2=1.2,a21=0.3,a22=0.4,σ2=0.05, 初始值为x1(0)=1.5,x2(0)=2.应用这些参数的值,通过Euler-Maruyama方法离散,我们获得三组模拟数值xk1(t),xk2(t),数量分别为(A)n=5000;(B)n=10000;(C)n=50000;保存这些数据为模拟数据集.对每一组数据,给步长∆t=0.02,0.05,0.1进行模拟,给出一些模拟结果,以便比较真实值与估计值.在表1–4中,样本的大小以符号“Size n”表示,且在表中第一列给出.其中表1,2样本大小从5000增加到50000,在每一组模拟数据中,分别以三种不同步长进行模拟.模拟数据表明参数的估计值与真实值没有明显区别,绝对误差与样本大小有关,与步长∆t无关,且随着样本数量的增大,绝对误差越来越小.

表1:(r1,a11,a12)的估计模拟结果(真实值:r1=1,a11=0.3,a12=0.2)

表2:(r2,a21,a22)的估计模拟结果(真实值:r2=1,a21=0.3,a22=0.2)

其次给出各个参数置信水平为0.95的置信区间的一些模拟结果.表3,4中,给出参数的估计区间及区间长度,模拟数据表明随着样本量的增大,置信水平长度越来越小.

表3:置信水平为0.95的参数r1,a11,a12置信区间模拟结果(真实值:r1=1,a11=0.3,a12=0.2)

表4:置信水平为0.95的参数r2,a21,a22置信区间模拟结果(真实值:r2=1,a21=0.3,a22=0.2)

5　结论

本文对随机两种群Lotka-Volterra竞争模型应用最小二乘法理论进行参数估计,获得参数r1,a11,a12,r2,a21,a22,σ1,σ2的估计值及估计区间.通过观察结果,得到影响置信区间长度的主要因素.结果表明,参数估计区间的长度随着样本数量n的增加而减小,不依赖步长∆t的长度.例1给出了具体的数值模拟.极大似然估计与贝叶斯估计方法是另外两种参数估计的方法,在将来的工作中,将应用这些方法到随机两种群Lotka-Volterra模型.

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