吕小红, 罗冠炜

(1.兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2.甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室，兰州 730070)

含间隙、约束和摩擦等非光滑力学因素的机械系统动力学是机械和振动工程界广泛重视的研究领域。李群宏等[1]推导了双自由度碰振系统单碰亚谐振动的存在性判据和稳定性条件的解析结果。Kundu等[2]研究了4种约束配置条件下，软冲击振动系统在擦碰轨道邻域内的映射特性。张思进等[3]基于定相位面Poincaré映射的方法研究了碰撞振动系统单碰周期振动发生擦边分岔的条件及分岔方程。Chillingworth等[4-6]提出不连续几何的拓扑方法，分析了周期激励碰撞振子的擦边分岔, 并从几何上解释了擦边分岔点附近鞍结分岔存在与否的原因。Xu等[7]用不连续映射的方法分析了两自由度碰振系统擦边周期运动的稳定性。冯进钤[8]解释了单边碰撞系统由于周期轨道擦边而产生鞍结分岔的机理。Peterka等[9-10]揭示了冲击振动系统周期振动的存在域以及相邻周期运动经擦边分岔和鞍结分岔相互转迁的过程。Chvez等[11-12]考虑了冲击钻和钻孔桩等许多有重要应用背景的带有滑移渐进运动的冲击钻进振动系统的动力学模型，研究了系统的余维一和余维二分岔，以及激振力参数与钻进性能之间的关联关系。罗冠炜等[13]数值研究了小型振动冲击式打桩机系统的分岔特点。

本文以小型振动冲击式打桩机为工程背景，建立了考虑缓冲垫和支撑介质黏弹性并能够模拟有界渐进运动的碰撞-渐进振动系统的力学模型。用数值仿真的方法研究了系统周期振动的分岔特性和系统最佳渐进率对应的周期振动类型。

1 力学模型及运动微分方程

图1 力学模型Fig.1 Mechanical model

引入无量纲量

(1)

式中：i=1, 2, 3, 4；j=1, 3；μm为质块M1在系统总质量中所占的比重；Lk为质块M1第k次冲击缓冲垫后滑块的渐进量。

(2)

式中：下标“-”和“+”分别为冲击前后的瞬时速度。冲击后，质块M1与缓冲垫黏滞在一起以冲击前质块M1的瞬时速度作为初速度向下运动。冲击前后，质块M1的速度不变，但缓冲垫的速度发生突变。黏滞向下运动时，质块M1与缓冲垫之间具有相互作用力，用F1表示两者之间的相互作用力，有

(3)

质块M1与缓冲垫黏滞向下运动过程中，F1>0。待F1减小至零时，两者分离。黏滞运动结束瞬间，F1=0，x1=x3+l。黏滞运动结束后，质块M1自由振动，缓冲垫在其自身弹性和阻尼的作用下恢复到平衡状态，随质块M2一起自由振动。

用P0表示作用于滑块的弹性恢复力和阻尼力的合力，有

(4)

当质块M1第k次冲击缓冲垫后，两者黏滞向下运动，弹簧K3被压缩，最终使得作用于滑块的合力P0的绝对值增加。当P0满足-P0>f时，滑块克服干摩擦力f渐进运动，渐进的深度为lk，同时系统向下平移lk。当P0的绝对值减小至等于干摩擦力f时，滑块渐进运动过程结束，滑块与周围介质接触面间的摩擦力f由动摩擦力变为静摩擦力，直到滑块开始下一次渐进运动为止。不管滑块处于哪种状态，系统的静平衡位置相对滑块而言都没有改变。

以质块M1冲击缓冲垫的时刻作为为系统运动的初始时刻(t=0)，冲击后瞬间的状态作为系统随后运动的初始条件，分析系统在任意相邻两次冲击之间的运动过程。在不同参数情况下，相邻两次冲击之间，系统可能呈现出四种类型的运动状态。下面给出每种运动状态的判断条件及运动微分方程

(5)

(6)

(7)

(8)

2 运动过程和Poincaré映射

在相邻两次冲击之间，质块M1与缓冲垫黏滞运动或自由振动，滑块静止或渐进运动。在相邻两次冲击之间，系统的运动可能是四种情形的一系列组合，因此，图1所示系统具有多重分段性的特征。在相邻两次冲击之间可能存在如下的运动过程

(1) 质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止→冲击→质块M1与缓冲垫黏滞运动，滑块静止→质块M1与缓冲垫黏滞运动，滑块渐进运动→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块渐进运动→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止；

(2) 质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止→冲击→质块M1与缓冲垫黏滞运动，滑块静止→质块M1与缓冲垫黏滞运动，滑块渐进运动→质块M1与缓冲垫黏滞运动，滑块静止→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止；

(3) 质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止→冲击→质块M1与缓冲垫粘滞运动，滑块静止→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止；

(4) 质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止→擦碰接触→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块静止；

(5) 质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块渐进运动→擦碰接触→质块M1与缓冲垫分别自由振动，滑块渐进运动，等。

为了研究系统的周期振动及其分岔特点，用p/n表示系统的周期振动，n和p分别表示一个振动周期Tn=2nπ/ω内外激振力的周期数和质块M1冲击缓冲垫的次数，并建立碰撞面Poincaré映射

X′=f(v,X)

(9)

3 单碰周期渐进振动的分岔

图1所示系统的主要工作机理是滑块克服干摩擦力渐进运动，因此，为了揭示系统的周期振动类型及冲击速度与渐进率之间的关联关系，从而为系统的参数优化和动态综合设计提供理论依据和支撑，图5给出了质块M1和滑块在一定时间(t=300)内的渐进效果图。图5中e曲线对应2/2周期振动，其余曲线对应1/1周期振动。观察图2中质块M1冲击缓冲垫的速度与图5中滑块的渐进量之间的关系，可以发现，1/1周期振动时的冲击速度和渐进量明显大于2/2周期振动时的各量。1/1周期振动时，质块M1的瞬时冲击速度越大，滑块的渐进效果越好。系统的最佳渐进效果发生在1/1周期振动时，质块M1冲击缓冲垫的速度峰值附近。

由于碰撞振动系统特有的擦碰奇异性，使得在1/n(n≥2)单碰亚谐-渐进振动向长周期多冲击运动或混沌的转迁过程中经历非光滑分岔。当ω∈[0.462 7, 0.632 36]时，系统呈现1/2亚谐碰撞-渐进振动。图6(a)为ω=0.5时，1/2亚谐振动的相图。1/2亚谐振动随ω增加时的分岔过程为：1/2亚谐振动→周期倍化分岔→2/4周期振动→实擦边分岔→3/4周期振动→周期倍化分岔→6/8周期振动→虚擦边分岔→长周期多冲击运动或混沌，见图3(b)和图6(b)～图6(f)。当ω增加穿越ωc=0.646 5时，质块M1与缓冲垫以相等的速度接触，2/4周期振动发生擦边分岔，导致系统在一个振动周期T4=8π内的力周期数不变，但质块M1冲击缓冲垫的次数增加一次，产生3/4周期振动，因此，此擦边分岔为实擦边分岔。2/4周期振动的实擦边分岔过程是不可逆的。ω减小时，3/4周期振动发生鞍结分岔，系统在一个振动周期内的力周期数不变，但质块M1冲击缓冲垫的次数减少一次，产生2/4周期振动。当ω增加穿越ωc=0.648 933时，6/8周期振动经虚擦边分岔嵌入长周期多冲击运动或混沌。1/2亚谐振动的倍化分岔存在，但是由于实擦边分岔或虚擦边分岔，引起擦碰奇异性，导致2/4周期振动和6/8周期振动并未向4/8周期振动和12/16周期振动分岔，而是分别产生3/4周期振动和混沌。与ω增加时相似，当ω减小时，1/2亚谐振动经周期倍化分岔产生2/4周期振动，但是由于擦碰奇异性，其倍周期序列不存在。

4 相邻基本碰撞-渐进振动的转迁过程

在低激振频率区域，系统主要呈现p/1(p≥1)基本碰撞-渐进振动。图7(a)和图7(b)分别为相邻基本碰撞振动1/1与2/1， 2/1与3/1相互转迁的多初值分岔图，粗黑色线对应ω减小的方向，烟灰色线对应ω增加的方向。相邻p/1类基本碰撞-渐进振动之间的相互转迁过程比较复杂，可能存在2(p+1)/2周期振动和(2p+1)/2周期振动的窗口，见图2，图7(a)和图7(b)。在1/1周期振动的参数域中减小ω穿越ωc=0.175 11时，质块M1与缓冲垫以相等的速度擦碰接触，1/1周期振动发生擦边分岔，产生4/2周期振动。由于z=4/2=2/1，即在一个力周期内，质块M1与缓冲垫的平均碰撞次数增加一次，因此，此擦边分岔为实擦边分岔。ω继续减小穿越ωc=0.174 95时，4/2周期振动经逆周期倍化分岔产生2/1基本碰撞振动。上述分岔过程是不可逆的，当ω增加时，2/1基本碰撞振动经周期倍化分岔产生4/2周期振动。继续增加ω穿越ωc=0.175 11时，4/2周期振动发生鞍结分岔，导致系统在一个振动周期内的力周期数不变，但质块M1冲击缓冲垫的次数减少一次，产生3/2周期振动。进一步增加ω穿越ωc=0.190 42时，3/2周期振动经鞍结分岔产生1/1周期振动。当ω∈[0.175 11, 0.190 42]时，系统存在1/1周期振动和3/2周期振动两个周期吸引子共存的现象，而且两个周期吸引子都是稳定的。文献[14]考虑了两自由度单边约束碰撞系统，发现在相邻p/1类基本运动的参数域临界线上，可能存在 (np+1)/n(n≥2)类周期振动的参数岛，(np+1)/n周期振动由p/1基本运动和1/n亚谐振动相互作用而产生。因此，可以推断，图7(a)所示3/2周期振动由1/1周期振动和1/2亚谐振动相互作用而产生。图8为ω=0.18，不同初值条件下，系统呈现1/1周期振动和3/2周期振动的相图。基本碰撞振动1/1和2/1之间的转迁过程总结如下：

图2 分岔图Fig.2 Bifurcation diagram

图3 单碰周期振动随ω变化的分岔图Fig.3 Bifurcation diagrams of single-impact periodic motions under variation of ω

图4 1/1周期振动的相图和时间历程图, ω=0.3Fig.4 Phase plane portrait and time series of 1/1 motion with ω=0.3

a-ω=0.3; b-ω=0.25; c-ω=0.33; d-ω=0.35; e-ω=0.39图5 质块M1和滑块的渐进效果图Fig.5 Progressive effect of the mass M1 and the slider

图6 相图Fig.6 Phase plane portraits

ω↓: 2/1←逆周期倍化分岔←4/2←实擦边分岔←1/1；

ω↑: 2/1→周期倍化分岔→4/2→鞍结分岔→3/2→鞍结分岔→1/1。

在2/1基本碰撞振动的参数域中减小ω，质块M1与缓冲垫以相等的速度擦碰接触，系统经实擦边分岔产生3/1基本碰撞振动。相邻基本碰撞振动2/1和3/1之间的相互转迁过程是连续的，但是不可逆，见图7(b)。当ω增加时，3/1基本碰撞振动经鞍结分岔产生2/1基本碰撞振动。2/1基本碰撞振动的擦边分岔点和3/1基本碰撞振动的鞍结分岔点没有重合，两点之间存在迟滞区。迟滞区内，系统存在2/1和3/1两个周期吸引子共存的现象，而且两个周期吸引子都是稳定的。当ω穿越实擦边分岔点时，系统在一个振动周期内的碰撞次数增加一次。相反，当ω穿越鞍结分岔点时，系统在一个振动周期内的碰撞次数减少一次。图9(a)和图9(b)分别为ω=0.17和0.132时，2/1基本碰振运动和3/1基本碰振动的相图和时间历程图。

图7 基本碰撞振动的多初值分岔图Fig.7 Bifurcation diagrams with multi-initial value of fundamental motions

图8 相图, ω=0.18Fig.8 Phase plane portraits with ω=0.18

图10给出了系统分别呈现1/1，2/1，3/2和3/1周期振动时，质块M1和滑块的渐进效果图。通过比较其它类型周期振动的渐进量和1/1周期振动的最大渐进量，分析系统在低激振频率区域的周期振动类型对滑块渐进效果的影响。在一定时间内，一个力周期内的平均碰撞次数越多，滑块的渐进效果越好。滑块的最大渐进量发生在ω=0.132附近，对应3/1基本碰撞振动，此渐进量明显大于ω=0.3时的渐进量。由于一个力周期内的平均碰撞次数越多，引起高噪音，刮摩和磋磨等不利的后果越明显。因此，实际工程应用的最佳选择并不是3/1基本碰撞振动的最大渐进量，而应该是1/1周期振动的最大渐进量。

图9 相图和时间历程图Fig.9 Phase plane portraits and time series

a-3/1振动，ω=0.132; b-2/1振动，ω=0.17; c-3/2振动，ω=0.18; d-1/1振动，ω=03图10 质块M1和滑块的渐进效果图Fig.10 Progressive effect of the mass M1 and the slider

5 结 论

(1) 本文建立了以振动冲击式打桩机为典型代表的碰撞-渐进振动系统的力学模型。系统的主要工作机理是滑块克服干摩擦力渐进运动，1/1周期振动的冲击速度和渐进量要明显大于2/2周期振动时的各量，1/1周期振动的最佳渐进效果发生在质块M1冲击缓冲垫的速度峰值附近。在一定时间内，滑块的最大渐进量发生在3/1基本碰撞振动的参数区域，此渐进量明显大于1/1周期振动时的渐进量。然而， 1/1周期振动的最大渐进量仍然是工程应用的最佳选择。

(2) 激振频率增加时，1/1周期振动经倍周期序列最终通向混沌。1/n(n≥2)单碰亚谐-渐进振动由于多类型碰撞-渐进振动造成的多重分段性及碰撞振动系统特有的擦碰奇异性，使得在其通往混沌的过程中存在实擦边或虚擦边分岔和鞍结分岔等非光滑分岔。

(3) 相邻p/1(p≥1) 类基本碰撞-渐进振动之间的相互转迁过程连续但不可逆。ω减小时，p/1基本碰撞振动发生实擦边分岔，系统在一个振动周期内的平均碰撞次数增加一次，最终产生(p+1)/1运动。相反方向的分岔为鞍结分岔，(p+1)/1基本碰撞振动最终经鞍结分岔产生p/1运动。此外，在相邻p/1(p≥1) 类基本碰撞-渐进振动之间可能存在2(p+1)/2周期振动和(2p+1)/2周期振动的窗口。

[ 1 ] 李群宏, 陆启韶. 一类双自由度碰振系统运动分析[J]. 力学学报, 2001, 33(6): 776-786.

LI Qunhong, LU Qishao. Analysis to motions of a two-degree-of- freedom vibro-impact system [J]. Acta Mechanica Sinca, 2001, 33(6): 776-786.

[ 2 ] KUNDU S, BANERJEE S, ING J, et al. Singularities in soft-impacting systems [J]. Physica D, 2012, 241(5):

553-565.

[ 3 ] 张思进, 周利彪, 陆启韶. 线性碰振系统周期解擦边分岔的一类映射分析方法[J]. 力学学报, 2007, 39(1): 132-136.

ZHANG Sijin, ZHOU Libiao, LU Qishao. A map method for grazing bifurcatin in linear vibro-impact system [J]. Acta Mechanica Sinca, 2007, 39(1): 132-136.

[ 4 ] CHILLINGWORTH D R J. Discontinuity geometry for an impact oscillator [J]. Dynamical Systems, 2002, 17(4): 380-420.

[ 5 ] CHILLINGWORTH D R J. Dynamics of an impact oscillator near a degenerate graze [J]. Nonlinearity, 2010, 23(11): 2723-2748.

[ 6 ] HUMPHRIES N, PIIROINEN P T. A discontinuity-geometry view of the relationship between saddle-node and grazing bifurcations [J]. Physica D, 2012, 241(22): 1911-1918.

[ 7 ] XU Jieqiong, LI Qunhong, WANG Nan. Existence and stability of the grazing periodic trajectory in a two-degree-of-freedom vibro-impact system [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(12): 5537-5546.

[ 8 ] 冯进钤. 单边碰撞系统的擦边诱导鞍结分岔[J]. 安徽大学学报, 2011, 35(5): 22-25.

FENG Jinqian. Grazing-induced saddle-node bifurcation in a unilateral vibro-impact system [J]. Journal of Anhui University, 2011, 35(5): 22-25.

[ 9 ] PETERKA F, TONDL A. Phenomena of subharmonic motions of oscillator with soft impacts [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 19(5): 1283-1290.

[10] PETERKA F. Some aspects of the dynamical behavior of the impact damper [J]. Journal of Vibration and Control, 2005, 11(4): 459-479.

[12] PAVLOVSKAIA E, HENDRY D C, WIERCIGROCH M. Modelling of high frequency vibro-impact drilling [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2015, 91(2): 110-119.

[13] 罗冠炜, 愈建宁, 尧辉明，等. 小型振动冲击式打桩机的周期运动和分岔[J]. 工程力学, 2006, 23(7): 105-113.

LUO Guanwei, YU Jianning, YAO Huiming, et al. Periodic motions and bifurcations of a small vibro-impact pile drive[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23(7): 105-113.

[14] LUO G W, ZHU X F, SHI Y Q. Dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a rigid stop: diversity and evolution of periodic-impact motions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2015, 334(6): 338-362.