陈永康

探索满足某种条件的动点轨迹历来被认为是教学和初数研究中的难点，特别是轨迹问题需要判断轨迹的形状、大小和位置，确定它们往往更多地依赖于探究者的学识、经验和想象力，并且常局限于几种基本轨迹（点、线、线段、圆、圆弧等），其复杂性使教师往往词穷，探究者不时陷入困惑中。《几何画板》可以较好地帮助我们解决这一问题。《几何画板》是一种动态几何演示软件，它可以使图形在运动变化的过程中保持相关元素既定的几何关系不变。借助于《几何画板》的轨迹跟踪功能，我们可以快捷地获得欲求轨迹的基本信息和模拟图形，这给教学和研究带来很大的帮助。以下借助于《几何画板》的探索轨迹功能，通过两个基本作图，例谈《几何画板》探索轨迹在动态变化类问题中的应用。

一、单重运动

动点在某一确定的约束条件下运动，称之为单重运动。一般地说，约束条件通常有关于量的刻画和关于位置关系的刻画，根据《几何画板》轨迹跟踪功能的运用原理，我们首先作出一个在仅满足量的约束条件的路径上运动的点，称之为主动点（控制点），另作一个关于位置关系约束条件的点，称之为被动点（被控制点），再让被动点跟踪主动点的运动变化，那么当主动点在路径上运动时，被动点将画出同时满足关于量和位置关系约束条件的轨迹。

问题1求当Rt△ABC的两锐角顶点A、B在两条互相垂直的直线上运动时直角顶点C的轨迹。

分析：由题意可知直角三角形的运动方式是某种转动，欲求轨迹不能达无穷远，但较为具体的形态不好想象，如果利用《几何画板》将直角顶点的运动轨迹画出来，我们不仅会获得轨迹的可视图像，绘制的过程还将向我们展现相关元素之间的制约关系，这对最终解决问题的帮助是不言而喻的。

作法：

1）作Rt△EFG，使之全等于Rt△ABC，G是直角顶点；任作两条互相垂直的直线l1、l2；

2）在l2上任取一点标记为A，选择点A并按住shift键，再选择线段EF，点击构造——以圆心和半径划圆⊙O1；选择⊙O1并按住shift键，再选择l1，点击构造——交点，该交点记为B（只取右方的交点）；

3）选择点A并按住shift键，再选择点B，点击构造——线段；选择线段AB，点击构造——中点，中点记为M；选择点M并按住shift键，再选择线段AM（可先构造线段AM），点击构造——以圆心和半径划圆⊙O2；选择点B并按住shift键，再选择线段FG，点击构造——以圆心和半径划圆⊙O3；选择⊙O2并按住shift键，再选择⊙O3，点击构造——交点，该交点记为C（只标记一个交点）；构造线段AC、BC；

4）选择点A并按住shift键，再选择l2，点击编辑——按钮——动画，此时界面上出现动画图标；

5）选择点A并按住shift键，再选择点C，点击菜单显示——轨迹跟踪点；

6）选择不必要的元素，点击显示——隐藏对象，使界面简洁；

7）双击动画图标，则随着点A在在直线l2移动，点C上画出一线段。

至此我们知道欲求轨迹可能是一线段。将点A拖到适当的位置，比如使AC平行于l1；使AB与l2重合；使点A与l2和l2的交点重合等，为进一步的数学分析、证明提供动态的、交互式的帮助。还可以试试看，如果三角形不是直角三角形，轨迹如何？

二、多重运动的叠加

如果動点的运动方式是由多重互不关联的运动组合而成，构建轨迹的基本思想是相通的，只是需设计若干个主动点各自在不同的路径上运动，而被动点的运动是由它们不同的运动方式叠加而成。

问题2平面上一动点沿一直线作匀速运动，同时，这条直线又绕它上面一定点作等角速转动，求动点轨迹（等速螺线）。

作法：

1）在平面上任取一点A，将鼠标对准画线工具，按下鼠标左键并拖到射线工具处松鼠标，以A为起点作射线，标记为l1；在l1上任取一点B，按住shift键，再选择点A，点击构造——线段；

2）在平面上任作圆c1，圆心标记为O1；在圆c1

上任取一点D，选择点O1、点D，点击构造——射线，标记为l2；

3）选择点O1、线段AB，点击构造——以圆心和半径划圆，标记为圆c2；选择圆c2、射线l2，点击构造——交点，标记为M；

4）选择点B并按住shift键，再依次选择射线l1、点D、圆c1，点击编辑菜单——按钮——动画，在出现的画面中依次点击每一句，将速度调为较慢；

5）选择点B并按住shift键，再选择点M，点击显示——轨迹跟踪点；

6）选择不必要的元素，点击显示——隐藏对象，使界面简洁；

7）双击动画图标，点M划出等速螺线的运行轨迹。

注意4）、5）反映点M的运动是由两种运动叠加而成。

从演示的结果可以看出，课件设计是否科学、简洁明了，能准确地表现相应的几何关系，主动点满足约束条件的路径设计是非常关键的，这里数学原理起着至关重要的作用。

如果多重运动是相关的，那么还需要考虑主动点相互间的制约关系。如考虑车轮滚动时，车轮边缘上一点的运动，若将其运动分解为一个圆的圆心作直线运动，圆本身作圆周运动，则必须注意车轮前进的距离和车轮边缘转动的距离是一致的，即它们实际上是一个运动，此时可以利用《几何画板》的测量计算功能实现主动点间运动的相互联系。

教师可以利用空闲时间教会学生使用几何画板，让学生在课堂上自己动手操作，并在操作过程中观察、发现、感受、验证，促使学生在“做中学”，以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。为此，教师要积极打造适合进行实验的环境，加强数学实验教学，引导学生参与其中，激发学生的自主意识，提高学生的实践能力。例如，先用几何画板画出一个任意三角形，再画出三角形的三条中线，并说出其中的规律，之后再拖动三角形其中一个顶点随意改变三角形的形状，看看这个规律是否发生改变。在活动课中让学生动手实践、自行探索，让他们在合作交流、疑问解惑的过程中重现知识的再发现过程。通过自主动手探究的过程，可以激发学生的自主意识，提高学生的观察能力和总结能力，让学生在研究过程中找到乐趣，树立学生的自信心，满足学生的成就感。