◎ 牟金保 沈中宇

数学史融入数学教学的实践和课例开发是HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育）研究的重要方向之一。［1］ HPM教学课例（以下简称“课例”）是指在课堂上发生的、将数学史上富有意义的典型事件融入数学教学，课例的开发过程就是对该事件发生过程的叙事性描述。近年来，在大量该领域课例研究的驱动下，数学史在课堂教学中的运用越来越成熟，课例开发已经取得了丰硕的成果，成为基于数学核心素养课堂转型教学的重要推动因素，产生了广泛的影响。虽然课例开发已经有了丰硕的成果，但是课例的开发过程，仍然是很多研究者以及教师感兴趣的话题，对于课例开发过程进一步的研究将有助于形成更加成熟的课例，这些课例对于一线教师的实践有着一定的指导作用。但到目前为止，课例开发过程方面开展的研究还较少，为了让更多对课例开发感兴趣的研究者与中小学一线教师详细了解课例开发过程，本文拟以“三角形中位线定理”为例，来呈现课例形成过程，同时提炼该过程对教学的启示。

“三角形中位线定理”是沪教版初中数学八年级下册二十二章“四边形”中第三节第三课时内容，属初中几何知识中重要的知识点之一。关于该知识点的数学史料丰富，如果合理融入课堂教学一定会彰显知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效。本节课的课例现在已开发完成，属于HPM研究团队（以下简称“团队”）与中学一线教师联合开发的课例之一，开发全程在上海进行，经历了初次尝试——再次实践——模拟课堂——课例形成的过程。该课例具有一定的典型性，对其分析有助于开发更好的课例。

一、初次尝试

（一）课题研讨

课例的课题选定取决于团队和教师两方面。对于团队来说，课题历史脉络清晰、史料丰富、教育价值明确，适合实施HPM视角下的课堂教学；对于教师来说，课题能够帮助学生更好理解知识点，深刻揭示数学本质。“三角形中位线定理”就是在满足两方面需求的情况之下产生的课例。选定课题后，研究团队与中学一线教师召开研讨会，一线教师提出的问题大致有五点：①中位线概念产生得不够自然，仿佛“从天而降”；②教材只是选取特殊情况进行先割补再旋转，没有体现出特殊到一般的数学思想方法；③简单地割补和旋转不能让学生体会实验几何到论证几何的过渡过程，更不能培养学生演绎推理能力以及提高学生数学素养；④大多数课堂教学不会让学生探究三角形中位线与第三边的关系，导致学生对三角形中位线概念理解不透彻，达不到课程标准中“理解”层次的目标；⑤在“立德树人”的大背景下，在落实德育课程应有的德育功能的同时，如何体现数学课程的德育功能，发挥数学课堂教学在育人中的渠道作用。

（二）备课研讨

根据课题研讨中教师提出的问题，团队对该课题的数学史进行深入研究与探讨，按照趣味性（数学史料涉及数学背后的故事，让学生觉得有趣）、科学性（数学史料符合史实，而不是胡编乱造的，也不能有知识性的错误）、有效性（数学史料必须满足教学目标的要求，不能为了数学史而数学史）、可学性（数学史料的难易程度要符合学生的认知水平，易于学生接受）和新颖性（数学史料要有新意，有特色，而非老调重弹，人云亦云）的五项原则选取适切的史料提供给教师，并就相关问题通过电话和网络进行交流。［2］对于“三角形中位线定理”来讲，主要有以下相关数学史料：①公元前 1800—1600 年期间古巴比伦数学泥版所记载的“六兄弟分割三角形土地的问题”［3］；②《九章算术》注释中关于刘徽利用割补法推导三角形面积公式［4］；③三角形中位线定理有多种证明方法，比如在近代西方早期教科书中出现了一些证明方法，18世纪法国数学家勒让德（A.M.Legendre）在《几何基础》中给出的反证法［5］、苏格兰数学家莱斯利（J.Leslie）在《几何和平面三角学基础》中给出欧氏面积法［6］、菲利普斯（Phillips）在《几何基础》［7］和纽科姆（Newcomb）在《几何基础》［8］中给出同一法和麦金（Macine）在《平面和立体几何基础》［9］给出平行四边形法。鉴于不同的教师对于史料的运用和组合方式不尽相同，呈现出的效果也截然不同。团队向教师提供数学史融入数学教学的四种方式：附加式（展示有关数学家图片、讲述有关数学故事等）、复制式（直接采用历史上的数学问题、思想方法等）、顺应式（根据历史材料编制数学问题）和重构式（追溯思想的历史起源，通过借鉴，重构知识的发生、发展历史）。［10］这四种方式供研讨后自然融入课堂教学。团队研讨教学设计是备课研讨中重要环节之一，“三角形中位线定理”也不例外。教学设计研讨形式以教师说课、然后以集体讨论的次序进行，最终通过团队与教师共同反复打磨来确定教学目标。

（三）课堂实践

初次尝试阶段，教学流程按照问题引入—性质探究—定理证明—课堂小结四个环节进行实施。问题引入环节通过“土地分割问题” 改编成的一道数学问题引入新课。［11］ 性质探究环节主要采用学生观察和自主探究。定理证明主要利用面积法和割补法。课堂小结环节教师先回顾并梳理三角形中位线定理的发展脉络，鼓励学生们在以后学习中发现问题、解决问题，并发散思维，多尝试用不同的方法去解决问题。

由于初次尝试，课堂实践没有达到相应的效果，其中较为突出的问题是引入部分不自然，中位线定理没有自然地引出，同时也没有很好地与后面的证明活动衔接起来，教师的引导性过强，文化与德育元素并不突出。六条教育价值中，知识之谐，探究之乐，文化之魅与德育之效没有很好地体现。

二、再次实践

由于初次尝试阶段的课堂实践并不完美，因此在课后研讨修正的基础上再次进行实践。教学流程按照复习旧知—探究新知—定理证明—课堂小结四个环节进行实施。复习旧知环节主要是让学生快速回答有关三角形的知识；探究新知环节主要加入了剪纸活动，教师给每组学生一个三角形，让学生自主探讨将一个三角形分成两个面积相等的三角形，随后让学生剪出四个面积两两相等的三角形，目的是通过剪纸活动引出中位线的概念；最终让学生猜想中位线和底边的位置关系和数量关系从而得出中位线定理的概念。定理证明环节教师给出了欧几里得的面积法和刘徽的割补法，并利用微视频介绍了另外三种证明方法。课堂小结环节教师让学生总结本节课的关键词。

在此次实践中，引入环节首次采用了将一个三角形分成四个两两相等的三角形，期望自然的引出中位线这一概念，实践证明效果很好，基本达到了知识之谐这一目标。但由于后面的活动教师引导性过强，没有基于学生的自主探究活动自然过渡到中位线定理的产生与证明。因此，在探究之乐上还有所欠缺，同时证明方式给出过多，讲解过快，学生没有很好的消化，探究之乐、文化之魅与德育之效没有很好的呈现。

三、模拟课堂

虽然两次课堂课例教学各有所长，但都不是很完美，没有达到预期的教学目标。为了达到教学目标，形成更完美的课例，团队在某高校2016级专硕“数学教学设计与课例分析”课进行模拟教学。模拟课堂使用的史料与前两次课堂实践基本相同，教学流程按照新课引入—概念形成—性质探究—课堂小结四个环节进行，具体以问题串的形式呈现。其中新课引入环节设置两个问题：①如何将三角形分割成四个面积相等的三角形？②你是如何操作的？概念形成环节设置两个问题：①什么是中位线？②中位线和中线有何区别？性质探究环节设置三个问题：①为什么你所得到的四个三角形是两两全等的？②你能猜想出中位线的性质吗？③如何证明三角形的中位线？课堂小结环节设置一个问题：这节课你收获了什么？通过问题串的模拟课堂教学，使这节课的教学思路更加清晰，教学目标更加明确。整个课堂贯穿于一个历史情境“土地分割问题”当中，自然完成引出中位线概念（创设历史情境）—探究中位线定理（特殊到一般）—回归问题解决（发现问题到解决问题）的过程。

模拟课堂的流程设计基于前面两次教学实践的基础之上，关键在于解决从引出中位线自然过渡到中位线定理及其证明的问题，因此在模拟课堂上开始采用问题串的形式，在分三角形面积问题之后进一步给出如何证明三角形中位线定理这一问题，实践证明，此问题很好地解决了从中位线概念到中位线定理及其证明的过渡问题，同时问题串的设置让整节课成为了一个整体。模拟课堂达到了知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效六方面的价值，整个课例趋于成熟。

四、课例形成

通过初次尝试—再次实践—模拟课堂三个环节，相对完美的课例设计框架已经形成。在课例形成环节，团队与教师进一步研讨发现，中位线定理的证明方式可以在刘徽的证明基础上进一步完善，如图1所示，可以不拘泥于刘徽的方法，从一边的端点，到垂点，再到中点，最后到一般的点，从而体现特殊到一般的思想，给学生更大的发挥空间。

图1

课例形成并进行教学实践后，主要从教师引导探究效果、中位线定理证明的数学思想方法、是否喜欢数学史融入课堂教学以及中位线定理理解方面进行了反馈测评，反馈表明教学效果很好。本课例教学和大多数传统课堂教学进行比较得出：本课例顺应式利用数学史打破课本上单一的证明方法，从特殊到一般的相互转化，让学生体会数学思想方法的精华，真正达到课程标准对本节课的要求；三角形中位线定理的微视频，激发了学生热爱科学、敢于创新的精神，感叹证明方法多样之余将自己的证明方法与古人的方法对比，引起学生的古今共鸣，自信心和自豪感油然而生。从反馈中可以看出，本节课解决了课题研讨时教师提出的问题，达到了备课研讨时设定的教学目标。

五、启示

本课例的形成经历了初次尝试—再次实践—模拟课堂—课例形成四个环节。其中，初次尝试阶段发现课堂教学引入不自然，衔接性不够，教师引导过强，再次实践阶段采用分割三角形面积问题解决引入不自然，模拟课堂采用问题串形式，从特殊到一般的方法，改造数学史上刘徽的方法，解决全部问题。这种从发现问题到解决问题的过程，使得课例的知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等多层教育价值凸显。

同时，本课例得到如下启示：首先，要考虑一个概念或定理的自然形成，即知识的和谐产生，对于引入问题的选取非常关键，往往恰当的引入大多需要借鉴历史上此概念或定理的产生背景，让学生自然而然地得到该概念或定理。其次，课堂中要注重各个环节之间的衔接，其中问题串的设置尤为关键，在教学中使用好问题串可以使得课堂教学更具有整体性。最后，定理的证明或问题的解决不能原样照搬历史上的方法，而更要注重与学生的认知起点以及逻辑基础相结合，对历史上的解法按照课标要求做出相应的改造加工，从而让学生自然地探究出与古人相一致的解法，在此之后还可以渗透文化之魅与德育之效。在六项教育价值与四种应用方式的基础上，如何将一个课例打磨成一个经典课例，还需要在更多课例开发中不断探索。随着课例的不断开发，在借鉴国际上课例研究经验的基础上，总结具有我国特点的课例研究理论将是未来研究的热点问题之一。课例研究的成果在改良课堂教学的基础上，势必会融入到教师的教育体系中，进一步促进教师的专业发展。课例形成的过程，就像和氏璧需要能工巧匠不断地打磨才能闻名于世，宝剑需要经过不断地锤炼才可以削铁如泥一样，一节好的课例同样也需要不断地打磨才可以更好的发挥其教育价值。同时这个过程中一面成就课例，一面磨炼教师，促进教师的专业发展。课堂实践也证明，好的课例可以优化课堂教学、提升教师专业水平和教学素养。好的课例也能突出主题、注重探究，强调针对性、体现整体性、坚持互动性、保持连贯性，彰显教师个性、关注学生差异、追求真实有效、发挥团体智慧。

［1］汪晓勤，张小明. HPM研究的内容与方法［J］. 数学教育学报，2006（1）：16-18.

［2］汪晓勤. HPM视角下的“角平分线”教学［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2014（5）：29-32.

［3］李霞，汪晓勤. 三角形中位线定理的历史［J］. 中学数学月刊，2016（9）：58-60.

［4］郭书春. 汇校九章算术［M］. 沈阳∶ 辽宁教育出版社, 1998.

［5］Legendre A M. Elements of Geometry［M］.Cambridge：Hilliard&Metcalf, 1825：49-61.

［6］Leslie J. Elements of Geometry［M］. Edinburgh：James Ballantyne&Co., 1817：35-36.

［7］Phillips WHH. Elements of Geometry［M］. New York：Sheldon&Co., 1878：31-32.

［8］Newcomb S. Elements of Geometry［M］. New York：H. Holt, 1899：59.

［9］Venable Charles S. Elements of Geometry［M］. New York：University Publishing Co., 1875：67.

［10］汪晓勤. HPM的若干研究与展望［J］. 中学数学月刊，2012（2）：1-5.

［11］张奠宙,宋乃庆. 数学教育概论［M］. 2版. 北京：高等教育出版社，2009 .