宋瑞兰，谢 悦，宿晓如，罗冬梅

(佛山科学技术学院 土木与建筑工程系，佛山 528000)

0 引言

近20年来，碳纳米管因其长径比大、强度高、韧性好等优良性能，成为新型复合材料材料领域的研究热点。其中，CNTs金属基、CNTs聚合物的研究相对较多，也较为成熟，CNTs陶瓷基复合材料的研究还不多见，主要原因是陶瓷基体的脆性，在陶瓷基体加入CNTs，存在分散性和界面相容性等难以控制的问题，导致CNTs增强相对陶瓷基复合材料力学性能的影响无法准确表征[1]。目前，关于CNTs增强复合材料的研究主要以实验为主，理论研究大多是利用连续介质力学方法，从细观力学角度分析CNTs的特性对复合材料的强度和模量的影响，很少研究讨论碳纳米管的应力分布特性，所用模型大部分是将碳纳米管等效为长径比较大的实心短纤维。文献[2-4]以Cox[5]提出的剪滞理论为基础，研究了短纤维复合材料中纤维和界面的应力分布情况；高庆等[6]对短纤维增强金属基复合材料应力传递的传统剪滞理论进行了修正和改进。连建设等[7]将单壁碳纳米管等效为实心柱体短纤维，采用柱形剪切滞后模型分析，得到复合材料的应力场；罗冬梅等[8]利用具有精确周期性边界条件的均质化理论，用双尺度宏微观有限元法，分析了非连续实心碳纳米管呈规则和交错两种排列情况下，碳纳米管和基体沿管长方向的应力分布规律。文献[9]利用剪滞理论，对中空增强体增强金属基复合材料各相的应力进行了理论推导。由于碳纳米管增强复合材料的界面应力实验测量比较困难，一般只能给出拔出载荷的近似值，无法测量界面应力分布情况和数值大小，关于碳纳米管应力分布的研究，主要采用数值模拟与理论分析相结合的方法[10-12]。

本文在现有理论的基础上，通过材料力学的等效原理，将空心单壁碳纳米管处理为不同弹性模量组成的复合材料，在弹性力学基础上，利用修正的剪滞理论，推导了空心单壁碳纳米管增强复合材料中碳纳米管及陶瓷基体沿碳纳米管方向的轴向应力分布表达式的应力分布规律，同时通过ANSYS软件建立空心碳纳米管增强复合材料的有限元模型，分析轴向加载情况下，碳纳米管的长径比、体积分数、以及碳纳米管的各向异性等因素对基体和碳纳米管轴向应力分布的影响，并与理论方法进行对比，验证两种方法的一致性。

1 有限元模型的建立

首先，假设碳纳米管完全分散在陶瓷基体中，呈规则或交错排列且取向一致，只考虑复合材料的弹性性能，不考虑塑性性能及残余热应力的影响。

利用ANSYS有限元软件，采用三维实体结构八节点SOLID45单元进行建模分析。图1(a)为单根直线型空心碳纳米管模型，为推导方便，横截面取为圆形；碳纳米管为多根直线型空心模型如图1(b)所示，设横截面为边长为t的正方形，计算时取全模型进行模拟。陶瓷基体的长度为L，碳纳米管的长度为l，外径为2b，内径为2a。材料参数：碳纳米管的弹性模量Eof=700 GPa，泊松比νf=0.23；陶瓷基体的弹性模量Em=98 GPa，泊松比νm=0.3。

2 有限元法与理论方法的比较

假设陶瓷基复合材料的空心碳纳米管在基体中均匀呈周期性规则排列，强界面接触，即界面与基体材料参数完全一致，并属于线弹性范围。本文选用图2所示特征体积单元体单胞进行分析计算，假设该单胞与其他单胞之间互相没有力的作用。基体的外径为2c，空心碳纳米管的外径为2b，内径为2a。基体的长度为2L，碳纳米管的长度为2l。以单胞正中心为原点，在其轴向、径向和周向设立三维空间坐标轴，分别为z、r及θ轴。长径比s=l/b，空心碳纳米管内外径比h=a/b。

利用空间轴对称弹性力学基本方程求解，得到沿不同方向的应力表达式为

(1)

(2)

(3)

(4)

其中

σP为基体与纤维界面上的径向应力。把空心碳纳米管模型中的空心部分看成一种弹性模量为0的中间材料，根据材料力学等效弹性模量串并联公式，得到空心碳纳米管的等效弹性模量Ef。设k=1-h2，Ef=kEof。其中，Eof为碳纳米管实际的弹性模量。

2.1 基体单元力平衡分析

利用图3所示单胞基体的单位体积元模型进行应力平衡分析，得到基体截面沿轴向的平均应力为

(5)

利用单元体轴向受力平衡(如图3所示)建立平衡方程，并整理得

(6)

联立式(1)、式(4)～式(6)，经整理得到

(7)

基体正中心位置的轴向应力应等于整个基体的轴向应力，以此为边界条件，得出

(8)

2.2 增强体代表性单元力学平衡分析

图4所示为选取的单胞增强体的单位体积元模型及应力分布状态，对其进行应力平衡分析。

考虑基体到增强体的应力传递，首先在基体与增强体(r=b)界面上，基体与增强体的径向和周向应力也存在平衡关系

(9)

利用单元体轴向受力平衡(如图4所示)建立方程：

(10)

联立式(2)～式(4)、式(9)、式(10)，经整理得

(11)

在弹性条件下，参考文献[13-14]取增强体的根应力σf0=Emεm+Emd(εm-εf)。求解上述微分方程，并使用边界条件σf(z=l)=σf0，可得

(12)

联立式(6)、式(8)、式(11)、式(12)，可得

(13)

(14)

(15)

其中

式(13)、式(14)即为空心碳纳米管增强陶瓷基复合材料中碳纳米管与基体的应力分布与应变变化的关系式，式(15)是碳纳米管和基体界面处的剪应力与应变的关系式。

2.3 有限元结果与理论计算结果比较

以单根空心碳纳米管为例，基体与空心碳纳米管均为各向同性材料，基体长度为150 nm，直径为30 nm，纳米碳管长度为120 nm，空心碳纳米管的壁厚取1 nm，长径比取20，利用有限元软件ANSYS在轴向拉伸下计算复合材料中碳纳米管和陶瓷基体的轴向应力，并与本文理论方法以及文献[11]中理论方法计算出的结果进行对比，结果见图5和图6。

由图5和图6可看出，对陶瓷基体而言，单元体选择圆形截面和选择矩形截面情况下，用有限元法计算得到的轴向应力完全相同，略高于理论值；但对碳纳米管而言，用有限元方法算出的圆形截面的轴向应力结果偏低，矩形截面的偏高，理论值介于两者之间，整体来说单元体的截面形状影响不大。由于文献[11]中的理论分析没有考虑碳纳米管端部正应力的影响，导致在碳纳米管的端部，陶瓷基体的理论计算结果变化急剧，与本文推导的结果以及有限元结果存在较大差异，本文推导得到的空心碳纳米管进行修正后，得到的应力与有限元结果有更好的一致性。

3 有限元计算结果讨论

3.1 碳纳米管长径比对基体和碳纳米管应力分布的影响

首先，考虑单根和多根空心碳纳米管排列情况下，碳纳米管长径比的变化对增强体与基体的应力分布造成的影响，基体与纳米碳管均为各向同性材料，基体长度为150 nm，宽为30 nm，碳纳米管长度为120 nm，空心碳纳米管的壁厚取1 nm，长径比通过改变碳纳米管的直径来实现，可分别取10、12、15、20、30。基体沿轴向的应力分布如图7所示，碳纳米管沿轴向应力分布如图8所示。

由图7可见，对于基体材料而言，碳纳米管端部基体的应力有突变，单根碳纳米管情况(图7(a))沿碳纳米管长度方向应力为常数，该常数会随长径比的增大而增大，增大的速度逐渐减弱，多根碳纳米管情况下(图7(b))，由于碳纳米管的相互作用，应力不再保持常数，但随长径比增大而增大的趋势不变，主要是因为在碳纳米管长度不变时，长径比越大，直径越小，碳纳米管承担的应力越小，因此基体承担的应力越大。空心碳纳米管沿管长方向轴向应力随长径比增大而减小的趋势如图8所示，数值上碳纳米管所承担的应力为基体的2～3倍。因此，减小趋势不如基体明显，但端部的应力集中明显增大，碳纳米管的应力承担作用发挥显著。

基体与碳纳米管界面处的剪切应力沿管长方向的分布如图9所示，碳纳米管中心部位的剪切应力基本上为0，不随长径比的变化而变化，也不随碳纳米管的分布规律而变化，但在碳纳米管的两端附近，多根碳纳米管情况下的剪切应力达到最大，几乎是单根情况的2倍，且随长径比的增大而减小，表明多根碳纳米管承担剪切应力的能力强于单根碳纳米管。

3.2 碳纳米管体积分数对基体和碳纳米管应力分布的影响

本节通过调整碳纳米管加入量的变化，研究碳纳米管体积分数的变化对复合材料应力分布的影响，通过调整基体的宽度，获得体积分数分别为 2%、5%、10%、22%的碳纳米管为单根的复合材料分析模型。设基体长度为150 nm，碳纳米管长度为120 nm，空心碳纳米管的长径比取20。

图10和图11分别为不同碳纳米管体积分数下陶瓷基体和碳纳米管轴向应力沿轴线方向的应力分布。

由图10可看出，从碳纳米管中部到两端部的范围内，基体的轴向应力分布都是平稳的。在碳纳米管端部，基体轴向应力急增，而碳纳米管应力骤减，充分体现碳纳米管在基体中承担基体转化应力的作用。随着碳纳米管的体积比增大，基体沿碳纳米管长度方向的应力逐渐减小，碳纳米管的应力也随体积比增大而减小，但减小程度不明显。由此可见，通过调整碳纳米管的体积比来提高碳纳米管的承载能力是有限的。

由于应力提取困难，目前的实验主要集中在材料的硬度、断裂韧性和抗弯强度的测试[15-16]。文献[15]采用热压真空烧结工艺制备了氮化硅陶瓷复合材料，研究了碳纳米管含量时，碳纳米管增强陶瓷复合材料的力学性能变化。研究结果表明，当碳纳米管含量低于1%时，随着碳纳米管含量的增加，试样的抗弯强度和断裂韧性都随之增大。当碳纳米管含量较大时，在基体中难以均匀分散，出现大量团聚现象，导致试样的抗弯强度和断裂韧性急剧下降，降低碳纳米管的增强作用。图10和图11表明，碳纳米管的含量越大，碳纳米管的轴向应力越小，不利于发挥碳纳米管在复合材料中的增强作用。比较两者可知，虽然研究的内容和方法均不一样，但结论是一致的。

3.3 碳纳米管材料性质对基体和碳纳米管应力分布的影响

将碳纳米管按照各向同性和各向异性两种材料情况进行分析。仍建立单根和多根空心碳纳米管有限元模型，基体视为各向同性材料，基体的弹性模量为Em=98 GPa，泊松比νm=0.3；各向异性纳米碳管的弹性常数分别取为C11=457.6 GPa，C12=C13=8.4 GPa，C22=C33=14.3 GPa，C23=5.5 GPa，C44=C66=27.0 GPa，C55=4.4 GPa，泊松比νf=0.42，碳纳米管长径比取20，其他材料参数不变。各向的轴向应力沿轴向方向的分布如图12所示。

由图12可看出，不管是单根碳纳米管模型，还是多根碳纳米管模型，各向异性情况下，陶瓷基体轴向应力都比各向同性情况下的小，而且变化趋势相反。从整体变化而言，碳纳米管轴向应力的变化较显著，且各向同性情况下的值远大于各向异性情况下的值。可见，碳纳米管的各向异性大幅度降低碳纳米管轴向应力，不利于碳纳米管发挥在复合材料中的增强作用。

4 结论

(1)有限元计算结果与利用剪切滞后理论推导出的应力计算公式计算出的结果比较吻合，利用有限元分析应力分布结果是可靠的。

(2)空心碳纳米管长径比比较小时，对空心碳纳米管复合材料各相的轴向应力分布有较大影响，但达到一定值以后，碳纳米管直径的进一步减小，对复合材料各相轴向应力的影响程度逐渐减小，碳纳米管的几何尺寸具有一个最佳值。同时，碳纳米管之间的相互作用对复合材料各相的应力分布也有一定影响，需要进一步研究分析。

(3)在靠近碳纳米管端部位置时，基体轴向应力明显增大，空心碳纳米管体积分数越大，这种现象越明显，而碳纳米管的轴向应力则有所降低。可见，过度地增大空心碳纳米管的体积分数，不利于基体与碳纳米管之间应力的传递。

(4)各向异性碳纳米管增强复合材料的轴向应力明显低于各向同性碳纳米管增强复合材料情况，碳纳米管的各向异性降低了碳纳米管的轴向应力，不利于发挥碳纳米管在复合材料中的增强作用。

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