江美红

方程与不等式是初中数学中的一对“好姐妹”，她们是刻画现实世界中变化规律的重要模型.在变化、规律、动静之中，两个“好姐妹”既独立又相互联系，共同组成数与代数的核心内容，也常受到中考的“青睐”，中考考查的试题往往围绕这两个核心知识的交汇处.

【课本原题】（苏教版《数学》七下第141页）

若关于x的方程x-（2x-a）=2的解为正数，求a的取值范围.

【思路分析】方程的解为正数，即x>0，因此先求出方程中的x（用含a的代数式表示），再根据x>0列出不等式，确定a的取值范围.

【解答】∵x-（2x-a）=2，

∴x=a-2，

∵x>0，∴a-2>0.

解得：a>2.

【演变过程】本题是由解一元一次方程直接演变而来，设计一个含参的一元一次方程，已知这个含参方程的解满足的条件，从而确定方程中参数的值或取值范围.

【考题在线】

变式1：（2017·宜宾）若关于x、y的二元一次方程组[x-y=2m+1，x+3y=3]的解满足x+y>0，则m的取值范围是 .

【思路分析】方程组的解满足x+y>0，观察方程组中x，y的系数，只需将两个方程相加，用含m的代数式表示x+y，再列出不等式，确定m的取值范围.

【解答】∵[x-y=2m+1， （1）x+3y=3， （2）]

∴（1）+（2）得：2x+2y=2m+4，

∴x+y=m+2.

∵x+y>0，∴m+2>0.

解得：∴m>-2.

【解后反思】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式，用含m的代数式表示x+y是解题之关键.题中给出的是含参的二元一次方程组，解含参的二元一次方程组是一个难点.本题利用两个方程相加，整体表示出x+y，巧妙地避开了这一难点.

变式2：（2017·泸州）若关于x的分式方程[x+mx-2]+[2m2-x]=3的解为正实数，则实数m的取值范围是 .

【思路分析】本题中的x满足x>0且x≠2，故先解含参分式方程，再代入不等式，求出实数m的取值范围.

【解答】∵[x+mx-2]+[2m2-x]=3，

∴x+m-2m=3（x-2），

解得：x=[6-m2].

∵x>0且x≠2，

∴[6-m2]>0且[6-m2]≠2，

解得：m<6且m≠2.

【解后反思】本題考查了含参分式方程的解法.分式方程的解为正数，除了满足x>0，还应考虑分式的分母不为0，即：x≠2，这是同学们很容易忽视的地方，值得重视.

变式3：（2017·太仓暑假自主学习调研卷）已知a、b满足3a+2b=1.

（1）若2a-b=10，求a、b的值；

（2）若b>2，求a的取值范围；

（3）若a>0，b>0，且m=3a-2b，求m的取值范围.

【思路分析】第（1）问直接列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值；第（2）问用含a的代数式表示b，代入不等式，求出a的取值范围；第（3）问根据a>0，b>0确定a的取值范围，再用含a的代数式表示m，根据a的取值范围，确定m的取值范围.

【解答】（1）根据题意得：[3a+2b=1，2a-b=10，]

解得：[a=3，b=-4.]

∴a、b的值分别为3、-4.

（2）∵3a+2b=1，

∴b=[1-3a2].

∵b>2，

∴[1-3a2]>2，

∴a<-1.

（3）∵a>0，b>0，

∴[a>0，1-3a2>0，]

解得：0

∴m=3a-2b=3a-（1-3a）=6a-1，

∵0

∴-1

【解后反思】本题涉及二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次不等式组等知识，涉及的重要思想方法是“转化”，将二元转化为一元.同学们在复习中要注重“转化”数学思想方法的应用，提升将复杂问题转化为简单问题的能力.

在中考复习中，我们要注重知识间的联系，将方程（组）与不等式（组）知识有机结合，明白相关知识点之间的相互联系，强化训练综合题型，提高综合运用能力，做到融会贯通.

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）