施永法

摘 要：数学教学中，融入数学文化具有重要意义。课堂教学中，可从数学思想、数学史、数学美等角度融入数学文化。其中，数学思想是数学文化的核心，它对于促进学生数学思维能力发展具有重要作用；数学史和数学美是数学文化的重要组成部分，数学史是一部生动活动的发展史，数学美蕴含了数学知识别样韵味，它们在激发学生兴趣、领略先人智慧、赏析数学之美、启迪学生思维中起着重要作用。

关键词：数学文化 数学思想 数学史 数学美 基本不等式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）12-0-02

数学既富有理性精神，又富有人文精神；数学既是一种认知手段，又是一种技术工具。数学传承着人类千百年来的智慧，是人类创造力和想象力的文化表達，是蕴含人类理性思维的认知范式，是人类解决人、自然、社会的关系的一项重要工具。数学正是历经历史的发展蕴含古人智慧的内容，它包含了深刻而丰富的数学文化，所以，我们要在教学中深挖数学文化。

数学教学中，数学文化占据重要地位、具有重要意义，它有利于促进学生人文素养的提升，有利于形成学生良好的非智力品质结构，有利于促进学生数学思维的发展，有利于提升数学地发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，从而为学生一生的发展奠定良好基础。所以数学教学中，应当有机地融入数学文化，实现数学文化在数学教学中的育人功能。何谓数学文化，不同的文献有不同的解释，但通常数学文化包含数学思想、数学史、数学美等多个方面的重要内容，这些方面在数学教学中具有重要意义。本文结合《基本不等式》第一课时教学，谈谈数学文化在数学教学中的融入。

一、融入数学思想，培养理性精神

数学思想是数学文化的核心，一定程度上，数学思想促进了数学文化的形成，正是数学思想的指引才促成了今日的数学发展。数学思想，在一定程度上表现为数学方法、数学观点和数学精神等，它对于促进学生数学思维发展具有重要作用。数学思想方法源于数学知识和方法，而又高于数学知识和方法，是数学知识方法在更高层次上的抽象与概括，它为分析、处理和解决数学问题提供了解题思路和解题方法与策略。

基本不等式教学中，基本不等式的建构过程就是一个融入数学思想的过程。基本不等式的构建，首先是运用数形统一思想，通过数量关系刻画几何图形，得到勾股定理；其次是运用放缩方法，借助于赵爽弦图实现相等到不等，体现一种哲学认识观。

通过对几何图像的观察、研究与探索，从勾股定理到基本不等式，教学中可按六个步骤有序推进：（1）观察赵爽“弦图”（图1所示），基于引导学生欣赏对称美与和谐美的基础上，分析“弦图”构成：四个全等直角三角形和一个小正方形构成一个大正方形；（2）在几何观察基础上，借助赵爽“弦图”引导学生证明勾股定理：利用大正方形和四个直角三角形及小正方形的面积关系S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S三角形AEB，得，故；（3）由面积相等关系猜想不等关系，通过图形构成观察面积关系，有大正方形的面积大于等于四个直角三角形面积和，从而有；（4）结合几何画板动态展示不等式 中等号成立问题，加强学生直观认知，易发现“”时等号成立；（5）进一步研究不等式“ ”的代数证明，容易想到作差法和放缩法，且放缩法架起了“相等”与“不等”的桥梁：，代数中蕴含几何意义；（6）由“ ”猜想“时， ？ ”，引导学生应用替代思想，得，最后得到基本不等式：。

由上可见，基本不等式的提出、探索与证明经历了一个相对曲折的过程，但同时引领学生经历了概念生长的全过程，经历了数学思想的引领，特别是具有一种潜移默化的促进作用，利于促进学生数学核心素养的提升。基本不等式的教学中，一方面渗透了“相等”到“不等”的哲学认识观，数学关系中，常量与变量相互之间的相等和不等刻画是一类重要关系问题，而基本不等式作为两个正数的算术平均数与几何平均数天然存在一对不等关系，值得我们品味探究，同时个正数的算术平均数也是大于等于这个正数的几何平均数，具有普遍意义。另一方面，“数形结合”的研究数学问题是数学研究的一种重要方法，基本不等式教学中通过赵爽弦图实现从形到数的探究是一个很好的研究切入点。

二、融入数学历史，促进思维发展

数学史是数学文化的重要组成部分，对揭示数学概念、定理、公式等的来龙去脉，帮助学生理解数学知识具有不可忽视的意义和作用。数学史知识的产生、形成和发展是一个逐步积累的过程，其中不仅包含数学家的名人轶事，更包含数学思想、数学智慧和数学哲理。数学史经典素材的引入有利于形成探究的课堂气氛，有利于学生深刻理解知识本质，领略数学先辈们的灵感与努力，学习他们的经验，感悟他们的精神，增强自身解决问题能力。在现阶段的新课程改革过程中，教师们表现出了对数学史知识极高的关注。

教学中有效融入数学史是一个值得研究的课题。融入数学史，笔者以为不仅包含融入数学故事和名人故事，还包含改造数学史知识启迪学生智慧，借古思今，以古人智慧启迪今人智慧，实现思维迸发。教学中，融入数学史有利于揭示数学知识的发生发展过程，有利于引导学生体会数学知识形成的过程，有利于引导学生感悟数学家的精神。基本不等式的建构与证明中蕴含丰富的数学史，值得我们充分挖掘。

一是基本不等式的引入过程中，引用赵爽“弦图”，蕴含数学文化。2002年第24届国际数学家大会在北京召开，而大会会标，正是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，赵爽“弦图”给出了迄今为止勾股定理最早、最简洁的证明。赵爽用割补方法证明几何图形所满足的数量关系，构建了一个恒等式，为中国古代以形证数、形数统一树立了一个良好典范，使世界数学家们无不赞叹其思想之高超、方法之巧妙，被誉为世界上勾股定理证明之最。通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学、学好数学的热情。

二是在学生感受几何直观与代数证明的紧密结合时，引出古人用“和差术”证明基本不等式的方法。2000多年前，生活在两河流域的古巴比伦时期的人们利用“和差术”证明了基本不等式。教师启迪学生思维，学生感悟古人智慧，一般的，对于正数，利用构造方法可得恒等式：、，两式相乘有：，所以。利用构造，巧用平方差公式，放缩得证。简单对称的代数方法证明让学生感受基本不等式的证明是历史发展的产物，展示了人类智慧的结晶，再一次掀起让学生对古人智慧的钦佩和折服，也为后续学习数学奠定了良好的数学德育目标。

那么具体如何在数学教学中有效应用数学史呢？文3对国内外已有的一些方法进行整合与改进，得到附加式、复制式、顺应式和重构式四类，见表1。[3]显而易见，这四种融入数学史的方式，其目标、水平和效果是有所差异的，教学中我们要根据教学实际，有效设计与应用数学史，以达到启迪学生思维、激励学生精神的目的。

（表1）

类别 描述 Tzanakis&Arcavi; Jankvist

附加式 展示有关的数学家图片，讲述逸闻趣事等，去掉后对教学内容没有什么影响 直接运用法 启发法

复制式 直接采用历史上的数学问题、解法等 直接运用法 启发法

顺应式 根据历史材料，编制数学问题 - -

重构式 借鉴或重构知识的发生、发展历史 间接运用法 基于历史法

三、融入数学之美 感悟数学真善

数学美是数学的重要一项内容，也是数学文化的重要组成部分。法国著名科学家、哲学家庞加莱较为详尽地论述了“数学美”和“数学直觉”在数学发现和学习中的作用，指出：“数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者”。所以，教学中，要融入数学美，在欣赏数学美的过程中激发学生灵感，激发学生学习欲望。

数学中的美一般包含四类：简洁美、对称美、统一美、奇异美。在此，笔者认为，数学美包含数学的外在美与内在美。外在美，指数学中能直观感知的美，就是通常所说的数学的简洁美、对称美、统一美、奇异美等。内在美，指由数学思维特点所决定的逻辑美与意境美，就是通常所说的理性美、方法美等。在教学过程中，应注重引导学生赏析数学之美，渗透美学教育，并利用数学之美让学生感悟数学的人文与历史。

1.欣赏外在美

基本不等式教学中，有多个角度值得我们欣赏数学的外在美。一是品味赵爽“弦图”的对称美与和谐美，四个全等直角三角形与一个小正方恰好构成一个大正方形，图形对称优美，又蕴含一些美妙结论。二是品味基本不等式的简洁性与对称性，两个正数的算术平均数与几何平均数天然的存在一种不等关系，且基本不等式簡单、优美、朴素、简洁的外表下又具有一种神奇的力量，能够巧妙解决一些最值问题等。三是品味数形统一的美，如基本不等式的几何解释：“圆内半弦长小于等于半径长”等，数形统一、简洁优美。

2.品味内在美

罗素说：“数学具有一种至高无上的冷峻之美”，而这种美最本质该是数学的理性美，这也正是数学的内在美，教学中，要充分挖掘数学的理性美与方法美。而挖掘数学的理性美与方法美，就要求我们教学中要理解知识本质，删繁就简，深入浅出，启迪学生数学思维，不要使学生陷入于题海之中。所以，基本不等式教学第一课时中，笔者通过变式教学，呈现问题的发展变化，使学生明白知识的来龙去脉，实现基本不等式的简单应用。

例1.求函数的最小值.

变式1.求函数的最小值.

变式2.求函数的最小值.

例2.若且满足ab=1，（1）求的最小值；（2）求的最小值.

变式1.若且满足，求ab的最大值.

变式2.若且满足，求ab的最大值.

基本不等式的学习，很重要的一个方面是应用基本不等式解决相关问题。例1和变式1的设计引导学生直接应用基本不等式解决最值问题；变式2一般学生容易得到：，此时教师可从两方面引导学生思考：（1）“”的不等关系是否成立；（2）“”是否是一个定值。针对思考（1）可用几何画板展示两个函数图像，肯定不等关系成立；针对思考（2）学生容易确认“”

不是一个定值，故需要构造解决求最值。例2则体现了基本不等式的应用从“一元”到“二元”的过程，既可用基本不等式直接求最值，也可用消元法解决。例2与其变式，又分别呈现了“积定和有最小值”与“和定积有最大值”的模式识别，引导学生进总结归纳。

数学文化融入数学教学，具有重要意义，不仅体现数学学科特色，更能实现数学教学中数学育人中的特殊价值。数学思想是数学文化的核心，可以说数学思想是数学发展的文化根基，它对于促进学生数学思维能力发展具有极其重要的作用；数学史和数学美是数学文化的重要组成部分，数学史是一部生动活动的发展史，它包含了数学形成发展的过程和数学先辈们的智慧，数学美蕴含了数学知识的别样韵味，它们在激发学生兴趣、引导学生赏析数学、启迪学生思维中起着重要作用。所以，每位数学教育工作者，都应当从数学文化的角度开展数学教学工作。

参考文献：

[1]张维忠.文化是促进学生理解的载体[J].中国教育报.2009-03-06（6）.

[2]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学.2011（7）：9-11.

[3]吴骏，汪晓勤（2014）.数学史融入数学教学的实践：他山之石[J].数学通报，2014（2）：13-16.