李佩宁

最优解问题是从数学，尤其是几何学中衍生出来的概念。它原本指的是使线性规划的目标函数达到最大值或最小值的可行解，和对该解存在与否、如何求得的数理演绎。而在一般性的问题解决中，最优解指的是：对某个可以量化的问题，在给定的有限条件下，对最佳办法是否存在以及如何设计并执行的问题的探讨。最优解问题的答案可能不唯一，也可能没有答案。

最优解问题在生活中的核心体现，往往是运筹学和博弈论所要解决的问题。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题，可以根据问题的要求，通过分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。随着社会的进步与发展，运筹学的有些内容已经在日常生活中泛化和深入。博弈论则是运筹学的分支，主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。运筹学和博弈学都涉及到对最佳办法的寻找，即数学模型的最优解。

一、课程重点

本课程通过让学生了解工程试验，培养学生对工程设计的认识。在寻找最优解的过程中，引导学生锻炼对多种解决方法进行归类和分别处理的能力，培养对细节的认识、观察以及综合理解能力，并对运筹学和博弈论形成一些感性认识。

【涉及领域】工程、物理学、建筑学

【建议年级】小学中年级

【建议时间】125分钟

二、课程任务

在给定材料数量的前提下，要求学生运用数学计算和推理，通过实际动手，尝试寻找最佳方案。在具体问题具体分析中，以及亲自动手实践中，引导学生动手动脑，就最佳设计的方式和思路展开讨论。

三、课程步骤

1.导入（15分钟）

第一步，阐述极限和最优解的概念。通俗地讲，极限是某个事物或某类事物发展的上限或者下限，是无法跨越的一种程度。极限值有可能是达不到的却可以无限趋近的。最优解，是指在规划中产生所需要的最大值或最小值的那个解决方案，有的情况下可以是多个。

教师可以举例说明数学上的极限，以及什么是生活中运筹问题的最优解。例如，先说一个小数0.1，然后让学生说出一个比0.1小但是比0大的数，然后让下一个学生说出比之还小但是比0大的数字，以此类推。然后，询问学生这样的数字可以一直小到多少，能出现多少个这样的数字。当学生回答是无数个之后，教师解释：这样的数字是永远到达不了0那么小的，但是会越来越小，不断地接近0，0就是这一串数字变化的极限。

至于生活中运筹问题的最优解，教师可以列举学生从早晨起床到上学的整个步骤，让学生思考可以由几种最佳的顺序完成。其中，可能有一种或者多种在最短时间内完成多项任务的安排方式，而任意一种最佳的时间安排方式，其实就是一种最优解。

第二步，强调资源的有限性，并提出对有限资源利用的建议。本次课程中，材料都是有限的，并且在寻找最佳方案的前提下可能会需要反复利用。所以，有必要进行合理规划，考虑在实验过程中解决材料的可重复利用问题。

2.宣布任务一及评价量规（10分钟）

【宣布任务】首先，通过观察判断给定材料（数量有限，严格按照给定的数量进行制作）能够制作高塔的最高极限是多少，并要说出如何得出这个极限;之后，使用给定的材料进行两次实验，通过实验不断接近自己观察判断出的极限值，同时修正制作方式。在此过程中，学生必须要考虑材料的重复利用。宣布任务后，呈现评价量规（见表1）。

【材料】30根吸管、剪刀、60厘米长的胶带、10把尺子（建议每组2把）。

在宣布任务和评价量规后，教师可以继续提出以下问题。

（1）各组计算或估算的极限各是多少？如果极限相同，各自的设计是否一致？

（2）极限实际能否达到？在实际操作中会遇到哪些困难？请列举出来。

提问后，给各组少量时间进行沟通准备。每个人都要写下自己的想法和实验计划，然后小组讨论执行什么样的实验计划。

3.任务一的执行（20分钟）

正式执行制作任务。要求学生依照评价量规，考虑以下问题。

（1）小组最终同意的极限是多少？

（2）为了尽可能接近这个极限，在设计中如何利用材料？

（3）为了进行多次实验，如何使用吸管？如何使用胶带？吸管和胶带怎样连接？连接怎样保持稳固性？

（4）实验执行时应该注意哪些细节？

（5）估算极限值时，是否真正考虑了所有的可能性？能否通过对材料的进一步加工而改变极限值？

（6）小组的分工如何？

4.总结和反思（25分钟）

全部小组完成任务后，组织讨论以下问题。

（1）小组对极限值的估计进行了几次，出现了几个极限值？是什么理由推翻了之前的估算？

（2）在实验所产生的设想中，接近理论极限值的最大实际困难是什么？

（3）如何在实验时尽力做到重复利用现有材料？

5.宣布任务二及评价量规（10分钟）

【宣布任务】使用给出的材料实际制作一个1.4米高的塔（底部不得粘在桌面上），必须保证能立起，能承受一定的重量，并且尽量节省材料成本，最后看哪个组制作的高塔能实现“物美价廉”（教师自行给材料赋予一定的成本，例如买一把尺子要花多少钱）。需要说明的是，学生要进行文字和图画的设计。宣布任务后，呈现评价量规（见表2）。

【材料】30根吸管、剪刀、60厘米长的胶带、10把尺子（建议每组2把）。

需要特别说明的是，为了防止学生针对评价量规的最后两项做出“专注于一项评分而放弃另一项”的不被鼓励的设计，教师可以酌情对最后两项评分进行必要的加权处理，以使学生在完成“增加承重”和“减少成本”两项任务时的评分回报率大体相仿。

6.任务二的执行（20分钟）

正式执行制作任务。要求学生依照评价量规，考虑以下问题。

（1）如何保證高塔不倒下？如何保证高塔的倾斜角最小？

（2）为了尽可能接近高度极限，在设计中如何利用材料？

（3）哪些设计是为了稳固？哪些设计是为了增高？

（4）什么因素导致制作的高塔产生倾角？

（5）小组的分工如何？

7.总结和反思（25分钟）

全部小组完成后，组织讨论以下问题。

（1）目前哪个小组得到了“最优解”？是否还有继续改进的空间？

（2）为了达成获得最优解的目的，还有什么相关内容需要被提前测量？比如，桌面的微小起伏是否会影响最终的结果？

（3）能否通过对材料的再进一步加工而改良现有的最优解？

（责任编辑   张慧籽）