张艳

《普通高中数学课程标准》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六大数学核心素养.问题情境指的是教师有目的、有意识地创设各种情境，促使学生去质疑问题，并使之引起最强烈的思考动机和最佳的思维定向的这样一种情境.本文以一节高三复习课为例谈谈如何在数学核心素养的指引下创设有效的问题情境.

一、课堂实录

设椭圆C： x2 a2 +y2=1（a>1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）;（略）（Ⅱ）若任意以点 A（0 ，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

问题情境一：

教师：先请大家思考第二问中的关键词是什么？

学生：三个公共点.

教师：那么你觉得什么情况下会出现三个公共点呢？

学生：其中有一个公共点是切点的时候.

教师：你能画出这种特殊情形吗？

投影仪上用几何画板展示这种临界情况.

教师：当出现这种情形时，如何求a呢？

学生：这个时候圆的半径为2，联立圆方程与椭圆方程  x2 a2 +y2=1，x2+（y-1）2=4，  消x得，（a2-1）y2+2y-a2+3=0，Δ=0，得a= 2 .

教师：我们已经解决了有三个公共点的问题.那么除了“三个”，你还关注到了哪个关键词呢？

学生：至多.

教师：至多三个公共点时椭圆应该越圆还是越扁？

学生：越圆.

教师：那么a的取值范围能求了吗？离心率能求了吗？

学生：1<a≤ 2 .e=  a2-1  a = 1- 1 a2  ∈ 0，  2  2  .

问题情境二：

教师：让我们重新审视这道題.我们知道圆与椭圆都具有优美的对称性，所以当有3个公共点时，其中一个公共点肯定是什么？

学生：（0，-1）.

教师：另两个公共点之间有什么联系吗？

学生：关于y轴对称.