王群亮+刘艳

摘 要：在数学教学中培养学生创新思维能力是数学教育工作者的一个重要目标，也是当前数学教育教学改革的重要方向。本文笔者通过自身教学改革实践，对不定方程部分有关内容进行教学时，鼓励学生进行创新思维，针对不定方程正整数解的问题进行了深入细致的研究，经过仔细思考与推敲之后，对一类不定方程的正整数解的问题进行设计和证明。

关键词：数学教学；创新能力；不定方程；正整数解

本文主要是作者在《整数论》教学过程中，对于讲授不定方程有关内容，为了培养学生的创新思维能力，鼓励学生进行大胆的尝试，针对不定方程正整数解的问题进行了深入细致的研究，经过仔细思考与推敲之后，对下面给出的一类不定方程的正整数解的问题进行设计和证明。以下是作者设计的二元三次不定方程的一般形式，即：

a1x3+a2x2+a3x+a4y3+a5y2+a6y+a7=0

对其中的比较简单的形式进行了研究和讨论，并在此基础上给予了相关证明。设计的问题如下：求证：当y为奇数时，不定方程4x3-2x2+x-y2=0没有正整数解。

证明：不妨假设上面的不定方程有正整数解，设x=k，y=m使上式成立，代入原式得，4k3-2k2+k-m2=0，进行移项变形得m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1）

又必有k=i2

[否则，设k=i1x1i2x2…ijxj（其中，i1，i2，…，ij为质数，x1，x2，…，xj为所对应的质数的次数），则必在x1，x2，…，xj中至少存在一个xk为奇数，使k≠i2。亦即存在一个ik的质数，并且有ik（4k2-2k+1）（因为m2=k（4k2-2k+1）的左边是m2，所以右边的含有质数ik的次数xk必是偶数，这样就可以肯定（4k2-2k+1）必能被ik整除，而由ik（4k2-2k）（因为，ikk，k4k2-2k，所以就有ik（4k2-2k）），同时就可以知道ik不能整除4k2-2k+1（原因是：若ik（4k2-2k+1），则可设4k2-2k=A·ik，

于是有4k2-2k+1=A·ik+1，

再设4k2-2k+1=B·ik（由于ik（4k2-2k+1）），所以就有A·ik+1=B·ik，即

（B-A）ik=1，也就是有ik1（这与ik是质数矛盾）），所以必有k=i2]。

又因为m为奇数（已知y为奇数）而m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1），所以k必为奇数。

于是有4k2-2k+1，当k取奇数时，其值情况如下：4×12-2×1+1=3，4×32-2×3+1=31，4×52-2×5+1=91，4×72-2×7+1=183，4×92-2×9+1=307，4×112-2×11+1=463，4×132-2×13+1=651，4×152-2×15+1=871，4×172-2×17+1=1123，4×192-2×19+1=1407

由上面可以观察到这样的规律：4k2-2k+1的末尾数字是1，3，7的结论。（理论上是：根据4k2-2k+1末尾数字只与k的个位数字有关，而k的个位数字只可能为1，3，5，7，9。得出4k2-2k+1的末尾数字为3，1，1，3，7，并且按此顺序重复出现）

因为，m2=k（4k2-2k+1），又由上面证得k=i2，所以必有4k2-2k+1=j2，所以j必为奇数，亦即其末尾数字只可能是1，3，5，7，9。于是，j2的末尾数字可能为1，9，5，9，1，并且按此规律重复出现。所以，只有当都出现末尾数字为1时才有可能使4k2-2k+1=j2。又因为4k2-2k+1的末尾数字为1时，k的末尾数字必须是3或5，而又因为k=i2，i是奇数，i2的末尾数字也只可能是1，9，5，9，1。所以，k只能取末尾数字为5的奇数，才能使4k2-2k+1和j2的末尾数字相同，并且都是1。

于是，把问题转化到了4k2-2k+1=j2是否在末尾数字都是1时成立上。因为前面已导出k的末尾数字只能是5时4k2-2k+1末尾数字才能是1，而由于k=i2，所以，i的末尾數字也必为5，这样必有k是25的奇数倍。在4k2-2k=2k（2k-1）中，由于k是25的奇数倍，2k就一定是50的奇数倍。又因为2k-1必为奇数，所以，4k2-2k=2k（2k-1）必为50的奇数倍，即有4k2-2k+1的末尾第二位数字必为5。

设4k2-2k+1=c+51（c的末尾两位数字为0），下面再看j2的末尾数字的情况。

因为j的末尾数字只有为1，9时，j2的末尾数字才能为1，才能与4k2-2k+1的末尾数字一致。所以，不妨假设j2=（a+1）2或j2=（a+9）2（其中，a是末尾数字为0的正整数）。

（1） （a+1）2=a2+2a+1，因为a的末尾数字为0，所以，a2=b×100（b为正整数），这样j2的末尾第二位数字只能由2a来确定，显然2a的末尾第二位数字为偶数（因为a是末尾数字为0的整数）。这样就不可能与4k2-2k+1的末尾第二位数字是5相同，所以4k2-2k+1=j2就不成立。

（2） （a+9）2=a2+18a+81=a2+（18a+80）+1，同理j2的末尾数字第二位数字也只与18a+80有关，而显然18a+80是10的偶数倍，即18a+80的末尾第二位数字必为偶数，所以，也不可能是5。这样就不可能与4k2-2k+1的末尾第二位数字是5相同，所以4k2-2k+1=j2就不成立。

综合（1）（2），由假设k，m是不定方程4x3-2x2+x-y2=0的正整数解，导出4k2-2k+1=j2的结论是错误的，也就是说，假设是不成立，这样，当y为奇数时，不定方程4x3-2x2+x-y2=0没有正整数解是正确的。

再思考相类似的不定方程4x3+2x2+x-y2=0，当y为奇数时，是否有正整数解呢？endprint

证明过程与不定方程4x3-2x2+x-y2=0在前半部分的证明过程相同，只是把其中的m2=4k3-2k2+k=k（4k2-2k+1）改成m2=4k3+2k2+k=k（4k2+2k+1），然后证明中都把“减号”改成“加号”，又因为m为奇数（已知y为奇数）而m2=4k3+2k2+k=k（4k2+2k+1），所以k必为奇数。接下来证明如下：

于是有4k2+2k+1，当k取奇数时，其值情况如下：

4×12+2×1+1=7，4×32+2×3+1=43，4×52+2×5+1=111，4×72+2×7+1=211，4×92+2×9+1=343，4×112+2×11+1=507，4×132+2×13+1=703，4×152+2×15+1=931，4×172+2×17+1=1191，4×192+2×19+1=1483

由上面可以观察到这样的规律：4k2+2k+1的末尾数字是1，3，7的结论。（理论上是：根据4k2+2k+1末尾数字只与k的个位数字有关，而k的个位数字只可能为1，3，5，7，9。得出4k2+2k+1的末尾数字为7，3，1，1，3，并且按此顺序重复出现）

因为，m2=k（4k2+2k+1），又由上面证得k=i2，所以必有4k2+2k+1=j2，所以j必为奇数，亦即其末尾数字只可能是1，3，5，7，9。于是，j2的末尾数字可能为1，9，5，9，1，并且按此规律重复出现。所以，只有当都出现末尾数字为1时才有可能使4k2+2k+1=j2。又因为4k2+2k+1的末尾数字为1时，k的末尾数字必须是7或5，而又因为k=i2，i是奇数，i2的末尾数字也只可能是1，9，5，9，1。所以，k只能取末尾数字为5的奇数，才能使4k2+2k+1和j2的末尾数字相同，并且都是1。

于是，把问题转化到了4k2+2k+1=j2是否在末尾数字都是1时成立上。因为前面已导出k的末尾数字只能是5时4k2+2k+1末尾数字才能是1，而由于k=i2，所以，i的末尾数字也必为5，这样必有k是25的奇数倍。在4k2+2k=2k（2k+1）中，由于k是25的奇数倍，2k就一定是50的奇数倍。又因为2k+1必为奇数，所以，4k2+2k=2k（2k+1）必为50的奇数倍，即有4k2+2k+1的末尾第二位数字必为5。

设4k2+2k+1=c+51（c的末尾两位数字为0），下面再看j2的末尾数字的情况。

因为j的末尾数字只有为1，9时，j2的末尾数字才能为1，才能与4k2+2k+1的末尾数字一致。所以，不妨假设j2=（a+1）2或j2=（a+9）2（其中，a是末尾数字为0的正整数）。

（1） （a+1）2=a2+2a+1，因为a的末尾数字为0，所以，a2=b×100（b为正整数），这样j2的末尾第二位数字只能由2a来确定，显然2a的末尾第二位数字为偶数（因为a是末尾数字为0的整数）。这样就不可能与4k2+2k+1的末尾第二位数字是5相同，所以4k2+2k+1=j2就不成立。

（2） （a+9）2=a2+18a+81=a2+（18a+80）+1，同理j2的末尾數字第二位数字也只与18a+80有关，而显然18a+80是10的偶数倍，即18a+80的末尾第二位数字必为偶数，所以，也不可能是5。这样就不可能与4k2+2k+1的末尾第二位数字是5相同，所以4k2+2k+1=j2就不成立。

综合（1）（2），由假设k，m是不定方程4x3+2x2+x-y2=0的正整数解，导出4k2+2k+1=j2的结论是错误的，也就是说，假设是不成立，这样，当y为奇数时，不定方程4x3+2x2+x-y2=0没有正整数解也是正确的。

按照此种方法，可以考虑研究与此种不定方程相类似的不定方程的正整数解的问题，本文是作者在教学过程中的一些业余研究，有不当之处敬请同行指教。

参考文献：

[1]王进明主编.初等数论[M].北京：人民教育出版社，2007.03.

[2]柯召，孙琦.谈谈不定方程[M].上海：上海教育出版社，1980.

[3]李寿德.一种新的整数规划法不定方程法[J].青海师专学报，1994年04期.

作者简介：

王群亮，刘艳，辽宁省营口市营口职业技术学院。endprint