杨玉蓓

(武汉工程大学邮电与信息工程学院 机械与电气工程系， 湖北 武汉 430074)

0 引 言

Kirchhoff型方程

(1)

引起了学者的广泛关注， 其中Ω是RN上的一个光滑区域,a,b是正常数， 非线性项f∈C(Ω×R，R), 方程(1)与Kirchhoff在文献[1]中提出的稳态方程

(2)

具有紧密联系. 方程(2)是一类经典的自由振动的弹性弦D’Alembert方程. Kirchhoff模型考虑了横向振动所导致的弦长度的变化. 在式(2)中,u代表位移，f(x,u)代表外力作用，b代表初始张力，a与弦的固有性质有关(比如弹性模量)， 同时式(2)在生物系统中也有较为广泛地应用， 其中u可以表示一个生物进程的平均状态(如人口密度).

的全体特征值.

在文献[5]中, He Xiaoming和Zou Wenming将方程(1)中的f(x,u)替换为λf(x,u), 其中λf(x,s)满足:

文献[5]运用局部极小方法和喷泉定理证明了对于任意的λ>0, 方程(1)具有无穷多解.

Chen Chingyu, Kuo Yuehching和Wu Tsungfang在文献[6]中考虑了如式(3)的Kirchhoff型方程

(3)

x∈R3,u∈H1(R3)(4)

已经被许多学者广泛地研究, 其中f∈C(R3×R,R),a,b>0， 是常数.

He Xiaoming和Zou Wenming在文献[7]中研究了方程(4)， 其中f(x,u)∶=f(u)∈C1(R+,R+)满足Ambrosetti-Rabinowitz条件 ((AR)条件)即

类似地， 文献[8-10]运用与文献[7]相类似的方法证明了当f(x,u)呈临界增长， 即f(x,u)形如λ|u|p-2u+|u|4u(4

对于非线性项f(x,u)=|u|p-2u(3

1 主要结果及其证明

我们研究Kirchhoff型方程

(5)

我们的主要结果如下.

在证明主定理之前， 先证明几个引理.

方程(5)所对应的能量泛函为

根据文献[12], 如果u∈H1(R3)是方程(5)的解, 则有Pohozaev恒等式

引入流形

M∶={u∈H1(R3){0}∶G(u)=0},

其中

故G(u)=〈I′(u),u〉+zP(u)， 其中P(u)在式(6) 中已给出.

显然， 若u∈H1(R3)是方程(1)的非平凡弱解, 则根据式(6), (7), 必有u∈M.

证明对于任意的u∈H1(R3){0}以及t>0, 取ut(x)∶=tu(t-2x). 考虑

γ(t)∶=Im(ut)=

引理2I具有山路定理的几何结构.

证明∃ρ,δ>0足够小使得

(‖u‖H1(R3)=p>0).

固定u∈H1(R3){0}, 取ut(x)∶=tu(t-2x), 对于足够大的t>0， 有

则∃t0>0, 取u0∶=ut0,I(u0)<0.

因此， 我们可以定义泛函I的山路值

(8)

其中

Γ∶={γ∈C([0,1],H1(R3))∶γ(0)=0,

I(γ(1))<0}.(9)

引理3 (一般极小极大原理， 参见文……