袁季兵 唐世清

【摘 要】δ函数作为奇异函数的一种，它在解决基本物理问题时显示了其特有的优越性。因此在力学、电动力学、量子力学中都有广泛的应用。论文从狄拉克函数δ（x）函数的定义出发，给出了一种将δ函数可表示成非奇异函数的极限的简捷证法。这种方法对于初学者来说，可以增强对δ函数及相关物理问题的理解和认识，对教学来说是一些有益的教学参考和借鉴。

【Abstract】As a kind of singular function， δ function shows its unique superiority in solving basic physical problems. Therefore， it is widely used in mechanics， electrodynamics and quantum mechanics. Based on the definition of δ （x） function of Dirac function， this paper gives a simple proof method that δ function can be expressed as the limit of nonsingular function. For beginners， this method can enhance their understanding of δ function and related physics problems， and it is a useful reference for teaching.

【关键词】δ函数；奇异函数；极限

【Keywords】 δ function； singular function； limit

【中图分类号】O431.2 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2018）11-0116-02

1 引言

在物理学与数学联系日益密切的今天，大量的物理问题需要借助数学手段辅以解决，这无疑对我们用数学方法处理物理问题提出了更高的要求。许多年以前，在物理学中经常要遇到一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的微分的这类问题，无法解决。20世纪30年代，为了解决连续谱的本征波函数不能归一化的问题，狄拉克引入了一个实函数δ（x），称之为狄拉克δ 函数[1]（以下简称为δ 函数） ，从而使得连续谱的本征波函数可以归一化为δ 函数。由于δ函数的一些特殊性质，如局部无限突变，整体积分有限性，挑选性，对称性等，为我们解决一些抽象的物理问题提供了一种方式，使复杂的问题变得简单，因此，在电磁学，电动力学，光学，量子力学，电路等物理学的几大分支领域中我们都能看到它的身影。由于δ函数的公式可以通过许多种不同的表达方式表示，例如，可以用阶梯函数的微商形式表示，也可以用Fourier积分形式表达；……