苏 玖

真题展现

问题1（2018年全国Ⅰ卷第5题）设函数f（x）＝x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

A.y＝-2xB.y＝-x

C.y＝2xD.y＝x

问题2（2018年江苏卷第19题）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数.若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”.

（1）证明：函数f（x）＝x与g（x）＝x2+2x-2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）＝ax2-1与g（x）＝lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）＝ -x2+a，g（x）＝，对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由.

思维延伸

问题1是“在点（0，0）处的切线”，如果把“在”改为“过”呢？于是有：

（改编1-1）已知函数f（x）＝x3+x，求过点P（1，2）的切线方程.

上述改编题中的点P在函数f（x）的图象上，如果这一点不一定在函数图象时，情况会怎样？请看：

（改编1-2）已知函数f（x）＝x3+ax，若过点P（1，2）的切线有且仅有2条，求a的值.

第2道改编题中函数是变化的，点是定的，如果函数确定，点P坐标满足什么样的条件可以作3条切线？于是有：

（改编1-3）已知函数f（x）＝x3-3x对应的曲线为C，若过点P（a，b）（a＞0）可以作曲线C的3条切线，求证：-3a＜b＜f（a）.

问题2中f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0）的含义就是函数f（x）与g（x）的图象在点x＝x0处具有公共切线l，直线l从公共点处穿过，将每条函数图象一分为二.也可以分布在直线l两侧.请看：

（改编2-1）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）.

试探究是否存在一次函数y＝kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由.

此题的两个函数都是确定的，也可以让一个函数是动态的，于是有：

（改编 2-2）已知函数f（x）＝x-2，g（x）＝a-x2，是否存在k，b∈R，使得g（x）≤kx+b≤f（x）对一切实数x（x≠0）恒成立，若存在，求出a的取值范围，否则，请说明理由.

这题中的直线将两条函数图象隔离了，有一类函数上存在点S，在该点处的切线将函数图象分成上下两个部分.于是有

（改编2-3）记函数f（x）图象上点P（x0，y0）处的切线方程为y＝g（x），若当x≠x0时，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，则称y＝g（x）为函数f（x）的“伴随-S函数”.

试求函数f（x）＝x3-3x+1的“伴随-S函数”g（x）.

点拨解析

问题1答案：D.

改编1-1解析：由于题目中没有指出P为切点，因此先设切点T（x0，y0）.因为f′（x）＝3x2+1，因此在T点处的切线方程为.又因为此切线过点P，于是有，化简整理得，1）＝0，即，或.

代入切线方程得，4x-y-2＝0或7x-4y+1＝0.

改编1-2解析：设切点，因为f′（x）＝3x2+a，因此在T点处的切线方程为.又因为此切线过点P，于是有，化简整理得，. ①

因为有两条切线，因此方程①有且仅有两个不同解，又等价于对应的三次函数的极大值为0，或极小值为0，于是设g（x）＝2x3-3x2+2-a，其导数为g′（x）＝6x2-6x＝6x（x-1），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝1.讨论求得，极大值g（0）＝2-a，极小值g（1）＝1-a.由题意得g（0）＝2-a或g（1）＝1-a，所以a＝1或a＝2.

还可以求：a为何值时，过P点有三条切线？根据上述解题过程知，g（x）有极大值g（0）＝2-a＞0且g（x）有极小值g（1）＝1-a＜0，解之得1＜a＜2.

改编1-3解析：设切点，因为f′（x）＝3x2-3，因此在T点处的切线方程为又因为此切线过点P，于是有，化简整理得，. ①

因为有3条切线，因此方程①有且仅有3个不同解，又等价于对应的三次函数的极大值大于0，且极小值小于0.于是设g（x）＝2x3-3ax2+3a+b，其导数为g′（x）＝6x2-6ax＝6x（x-a），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝a（a＞0）.讨论得，极大值g（0）＝3a+b，极小值g（a）＝-a3+3a+b.由题意得g（0）＝3a+b＞0且g（a）＝-a3+3a+b＜0，所以 -3a＜b＜f（a）.

本题还可以探究a＜0时，当且仅当f（a）＜b＜-3a时，可以作三条切线.同学们还可以探究函数式中含有两个参变量，点P为定点，如果能作三条切线，探究参数之间的关系.

问题2答案：（1）（略）；（2）；（3）对任意a＞0，存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”.

改编2-1解析：存在，.

先证，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个公共点；其次，在点处的公切线；最后证明：当x＞0时，，且恒成立.

略解：易证.令G（x）＝，于是，因此，当时，上单调递减；当时，G′（x）＞0，G（x）在上单调递增.

改编2-2解析：设f（x）在点处的切线为lA，g（x）在点处的切线为lB，

f′（x）＝-2x-3，g′（x）＝-2x.因此，.由题意知，lA与lB重合的充要条件为且，消去x2得，.令，则方程等价转化为t3-3t+a＝0在（0，+∞）内有解.

设h（t）＝t3-3t+a，则h′（t）＝3t2-3＝3（t-1）（t+1）.讨论求得h（t）min＝a-2.

要使得存在k，b，必须使方程在（0，+∞）内有解，当且仅当h（t）min＝h（1）＝a-2≤0，即a≤2.

当a≤2时，存在实数k，b满足题意.

改编2-3解析：设函数f（x）图象上点P（x0，y0），y0＝x30-3x0+1，f′（x）＝3x2-3，

因此，在点P（x0，y0）处的切线方程为.

因为当x≠x0时，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，等价于（x-x0）3（x+2x0）＞0恒成立，即等价于（x-x0）（x+2x0）＞0恒成立，即必有x0＝-2x0，因此x0＝0.

所以g（x）＝-3x+1.

回顾悟道

问题一主要是探究在曲线上一点处的切线和过点（点可能在曲线上也可能不在曲线上）作切线，重点讨论三次函数的问题，最终还是转化为函数的零点问题，进一步转化为极值问题；问题二是新定义函数的公切线问题，处理这类问题也是等价转化为函数零点，构造函数求极值.改编问题策略，一是改编函数解析式（如变更函数、设置参数），二是变更点与曲线的位置（通过参数调控），三是变更已知条件与结论的位置（可以全部交换，也可以局部交换）.求解策略通常是待定系数法、函数与方程、分类讨论数形结合思想方法等等.

小试牛刀

（2018年全国 Ⅲ 卷第14题）曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为-2，则a＝________.

提示1：本题给出切线斜率，求参数的值，如果切线的斜率由两直线的位置关系确定.

改编1：___________________________.

提示2：若点不在曲线上，过点作切线的情况如何？

改编2：___________________________.

小试牛刀

原题答案：因为y′＝ （ax+a+1）ex，因此f′（0）＝a+1，于是a+1＝-2，即a＝-3.

改编1：曲线y＝（ax+1）ex在点（0，1）处的切线与直线2x-ay+b＝0平行，则a＝________.

改编2：讨论过原点作曲线y＝（ax+1）ex切线的条数.

解析：设切点T（x0，y0），f′（x0）＝（ax0+a+1）ex0，于是在点T（x0，y0）处的切线方程为y-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（x-x0），

将（0，0）代入得，-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（-x0），即ax20+x0-1＝0.

若a＝0时，方程只有一解；