陈庆然，许义宝，李新华

(安徽大学 计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽 合肥 230601)

0 引 言

随着信息技术与自动识别技术的快速发展，二维码得到了广泛应用。由于Data Matrix码具有尺寸小、密度高以及信息量大等特点[1]，因此作为常用的二维码，以下简称DM码。然而，DM码图像在获取过程中不可避免地会受到很多因素的影响，导致图像质量下降。条码图像修复旨在消除这些因素的影响，恢复和重构出一幅可以准确识别并解码的图像。

当前的图像修复算法主要有基于偏微分方程(PDE)图像修复[2]、基于纹理合成图像修复[3]和基于稀疏表示的图像修复[4]三大类。基于偏微分方程的修复算法是将图像中的已知信息按照某种规则扩散到未知区域，对小区域受损的图像修复效果较好。基于纹理合成图像修复算法[5]是通过将图像中已知的信息大面积复制到缺损区域来进行恢复，该算法没有得到推广主要是因为常常会出现误匹配现象且计算效率低。而基于稀疏表示的图像修复算法是利用字典训练与已知图像内的有效信息进行稀疏编码[6-7]，从而达到图像的修复。

对于一些具体的修复算法，例如Elad等[8]以压缩感知为基础，利用形态分量分析(MAC)算法将图像分解为卡通层与纹理层两部分分别进行修复，提高了算法的计算复杂度。李民等[9]利用样本图像的先验知识，将待修复图像本身的信息统一于字典训练，增强了算法的自适应性，但是忽略了样本间的自相关性。文献[10-11]是基于DCT字典进行图像修复，DCT字典算法对边界信息修复效果一般。Zhang L等[12]提出利用PCA学习将图像分块训练，算法的鲁棒性较低。Xu等[13]提出了基于结构稀疏的修复算法，充分考虑了图像的几何结构与纹理信息，但是由于基于块稀疏特性的修复将图像的每一个块独立编码，重构时不能获得准确的稀疏系数。

为了克服以上算法的不足，文中提出一种基于组稀疏表示的图像修复算法。该算法将图像块聚类作为基本单位，采用一次SVD分解与优化编码算法，在提高字典学习过程中计算效率的同时，考虑了图像的局部稀疏性与自相关性进行稀疏编码，并通过实验对其进行了验证。

1 总体框架

1.1 目标函数

从数学角度分析，图像的降质模型表示为：

y=Hx+n

(1)

其中，x为原始图像；y为待修复图像；n为加性噪声；H为降质矩阵。

图像恢复问题是根据H的不同而发生变化，如果H是掩码矩阵，问题为图像修复，如果H是随机投影矩阵，问题为压缩感知恢复，如果H是模糊算子矩阵，问题则为去模糊。文中研究的是一种块聚类稀疏表示的图像修复问题，此时，H中的元素大多为0，因而难以求出H的逆矩阵。也就是说图像修复是典型的不可逆问题，正则化则是找出这种问题解的方法之一。具体来说，首先将图像y分块再将具有相似结构的块进行聚类称为组，每一个块聚类xGk在字典DGk下的编码过程就是寻找相应的稀疏向量αGk，即可获得重构图像，表示为x≈DGkαGk。于是，在正则化框架下基于组稀疏表示图像修复的目标函数为：

(2)

得到αGk以后就可以获得原始图像x。可以看出，恢复出原始图像的前提是获得字典原子与对应的稀疏系数。

1.2 快速自适应字典学习

字典DGk的定义需要满足，能够很准确地表示每一组xGk的同时希望xGk在字典DGk的表示下系数αG越稀疏越好。

普通的学习字典DGk可以通过下式学习得到：

(3)

其中，p为0或1。

但是这种方法学习到的字典计算复杂度高、效率较低。于是文中提出将块聚类的估计qGk进行一次奇异值分解(singular value decomposition,SVD)后，快速得到自适应学习字典。

(4)

其中，γrGk=[γrGk⊗1,γrGk⊗2,…,γrGk⊗m]。

1.3 分离迭代算法

分离迭代正则化[14]作为一种新的迭代正则化方法，广泛应用于图像去模糊[15]、图像分割[16]与压缩感知[17]等问题，它是解决L1范数优化问题的最有效算法之一。利用分离迭代框架求解目标函数，首先引入一个变量q，将式(2)转化为与其等价的等式：

(5)

其中，通过正则化参数λ平衡稀疏表示系数αG的稀疏性与精度。

调用分离迭代算法得到：

(6)

其中，将最上面的式子取梯度后令结果为0，可以求得组估计q=(HTH+sI)-1w，其中w=HTy+s(DGαG+b)，I代表与之匹配的单位矩阵。

2 优化梯度算法

基于块聚类的稀疏表示L0最小化图像修复模型如式(2)，由于L0范数最小化以直接求解，因此通常的做法是求解其最优的近似解，即转化为L1范数最小化。在一定条件下可以将L0范数优化问题与L1最小化问题的解等价，式(2)等价为：

(7)

根据式(6)，在q已知的情况下求αG，即：

(8)

对式(8)做一些变形，令z=DGαG，可得：

(9)

ε}=1

(10)

根据此定理，可得式(9)在迭代后满足：

(11)

另Γ=kλ/s，此时式(9)可以变形为：

(12)

显然，求出式(12)的最优解即为修复过程中需要不断更新的稀疏系数。下面关于范数最小值的求解进行讨论。与其他存在的算法求解方式不同，将它转化为一般的一元函数的方程求解极小值，令

(13)

从范数的角度分析，可以展开等价于：

为使y(αGk)获得的解最优，首先对y(αGk)中的αGk进行一阶求导，然后令其导数等于0时解出αGk的值。下面对y(αGk)′=αGk-γGrk+Γ∂|αGk|求导可得y(αGk)'=αGk-γGrk+Γ∂|αGk|，y(αGk)′与y(αGk)′已知。令y(αGk)'等于0满足最小化条件，可得αGk-γGrk+Γ∂|αGk|=0。其中H表示取次梯度，进一步展开可得：

(14)

进行计算后αGk=max(|γGk|-Γ,0)∘sign(γGk)，其中H代表绝对值算子，H代表向量对应元素的点乘运算，sign表示取符号函数。

至此，字典与稀疏系数都得到了求解。实际上，得到了最高效的字典原子与最稀疏的稀疏系数，从而使得整个修复算法更具鲁棒性。下面给出块聚类稀疏表示的图像修复整体算法步骤：

(1)输入待修复的灰度图像y(若输入图像为彩色图像，则提取出彩色图像的亮度信息作为输入)和掩码矩阵H；

(2)初始化q0=y,λ,k=240,s；

(3)根据q=(HTH+sI)-1w计算q；

(4)令Γ=kλ/s,用于计算稀疏系数；

(6)根据式(14)计算x=DGαG，可以得出修复后的图像x=DGαG。

3 实验结果与分析

通过仿真实验来验证该算法的可行性，利用文献[18-19]的算法与文中算法进行对比，实现对不同受损的样本DM码图像进行修复。图像大小为256×256像素，以重叠4像素的间隔取出图像大小为7×7的块，构建每组的搜索窗口的大小为L×L即40×40。采用修复后图像的峰值信噪比(PSNR)与结构相似性(SSIM)作为初步衡量图像修复效果，SSIM的值越大(最大为1)且PSNR越大，说明修复效果越好。最后对修复之后的DM图像进行解码测试，可以正确解码的条码图像满足真正修复的效果。

实验分为两组：第一组对于划痕的DM码图像进行修复，分别给出文中算法与文献[18-19]算法的DM码的修复效果图，如图1和图2所示。

图1 样本1原始图与掩码1破坏图

图2 被掩码1破坏的图像修复结果

图3为文中算法修复的识别结果，可以准确解码为CNA10C22GX74218LS8F0A00。

图3 文中算法修复的识别结果

第二组对于被遮挡的DM码图像进行修复，表1分别给出了三种算法修复的实验数据。

表1 掩码2破坏的三种算法修复的实验数据

文献[19]中算法的修复结果图针对性不强，修复结果产生局部模糊，有时不能彻底去除掩码,使得图像质量较差，修复的图像不能够正确解码，如图4所示。

由上述实验数据对比可知，对于不同掩码破坏的图像，文中算法修复的结果的PSNR与SSIM的值相比其他两种算法都有提高，并且在保证高的PSNR的同时满足了识别功能，可见该算法的稳定性与有效性。

图4 文献[19]算法修复的识别结果

4 结束语

提出了一种基于块聚类稀疏表示的DM码图像修复算法，将图像块之间的稀疏性与自相关性有效结合在一起，在实际应用中，块聚类稀疏表示算法是解决稀疏与冗余表示的很好的选择。在改进稀疏编码算法方面，L1范数被采用作为解决L0范数优化问题，并且巧妙地运用一次SVD分解来设计快速学习字典，降低了学习字典的计算复杂性。另外，采用分离迭代与优化梯度算法求解组稀疏表示的正则化问题，提高了整体算法的计算效率。对比实验中可以看出该算法相比其他算法的优势所在，算法的移植性较好且修复后图像大大提高了识别率，为工业应用提供了新的思路。未来的研究可以将算法提升到三维视频的修复。

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