陕西省西安市高新第三中学(710075) 吕二动

陕西省西安市西北大学数学学院(710127) 耿 妍

北师大版《步步高大一轮复习讲义》第357页第15题是关于从圆上两顶点出发的动直线与恒过定点问题,本文从此问题出发进行进一步推广,得到圆锥曲线恒过定点问题的一些普适结论.

问题1如图1,已知圆O的直径|AB|=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.

图1

(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;

(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.

笔者对此题作出大胆的猜想,能否将此题中的圆改为椭圆,结论还能过定点吗?答案是肯定的.

一、试题变式

变式1如图2,已知椭圆的左右顶点为A(−5,0),B(5,0),点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:以MN为直径的圆经过椭圆的右焦点.

图2

做完此题,笔者对此题作了一般性结论的推广.

结论1 已知椭圆的左右顶点为A(−a,0),B(a,0),点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证以MN为直径的圆经过椭圆的右(左)焦点.

若将椭圆改为双曲线是否有相同的结论呢?答案是肯定的.

变式2 如图3,已知双曲线的左右顶点为A(−4,0),B(4,0),点P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:以MN为直径的圆经过双曲线内的右焦点.

图3

结论2已知双曲线的左右顶点为A(−a,0),B(a,0),点P是双曲线上异于A,B的任意一点,直线,直线PA,PB分别交l于点M,N,求证以MN为直径的圆经过双曲线的右(左)焦点.

对于以上的结论笔者考虑要是抛物线也有……