北京市第十二中学高中部(100071) 刘刚 赵毅

题目(2017年全国高中数学联赛一试(B卷)11题)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1∶y2=4x,曲线C2∶(x−4)2+y2=8.经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l,与C2交于两个不同的点Q,R,求|PQ|·|PR|的取值范围.

试题以抛物线、圆为背景,考查了抛物线、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、距离乘积的范围以及转化、数形结合等数学思想,检验了运算与求解、分析问题与解决问题的能力.试题平中见奇,解法多样,符合新课标理念,是一道不折不扣的好题.

1.解法探究

解法1 设Q(x1,y1),R(x2,y2),P(m2,2m),由直线l的倾斜角为45°,得直线l的方程为y−2m=x−m2,即y=x+2m−m2.代入曲线C2的方程(x−4)2+y2=8,即(x−4)2+(x+2m−m2)2=8,整理,得2x2−2(m2−2m+4)x+(m2−2m)2+8=0,所以

因为直线l与C2有两个不同的交点,所以

由直线l的倾斜角为45°,得

由②,得0＜m2＜4_或4＜m2＜16,所以(m2−2)2∈[0,4)∪(4,196),故(m2−2)2+4∈[4,8)∪(8,200),即|PQ|·|PR|的取值范围是[4,8)∪(8,200).

解法2 设P(m2,2m),由直线l的倾斜角为45°,得l的方程为y−2m=x−m2,即

因为曲线C2∶(x−4)2+y2=8,所以C2是以(4,0)为圆心,半径的圆.因为l与C2有两个不同的交点,所以

设C2的圆心为M,由圆幂定理,得|PQ|·|PR|=|PM|2−r2=(m2−4)2+(2m)2−8=(m2−2)2+4.以下同解法1.

该方程有两个实数根,设为t1,t2,则t1t2=m4−4m2+8.由t的几何意义,得

以上用了3种方法对试题进行求解.解法1先根据直线l与曲线C2有两个不同的交点,借助判别式求出参数m的范围,然后利用弦长公式表示出|PQ|·|PR|再进一步求解;解法2先挖掘图形特征,把直线l与曲线C2有两个不同的交点问题转化为圆心到直线的距离小于半径,从而求出参数m的范围,然后借助圆幂定理及勾股定理表示出|PQ|·|PR|再进一步求解;解法3利用直线的参数方程进行求解.解法1是通解通法,但运算量较大;解法2充分利用圆的几何性质,大大减少……