河北省邯郸市第一中学(056000) 马进才 雷红涛

一、背景

题目(人教A版必修2第124页B组第3题)已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为,求点M的轨迹方程.

解析如图,设动点M(x,y),连结MO,MA,有:,化简得:x2+y2+2x−3=0,也就是:

方程(1)即为所求点M的轨迹方程,它表示以C(−1,0)为圆心,2为半径的圆.

图1

二、阿波罗尼斯圆

公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果.

定理A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ/=1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为λ.

图2

性质3 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为,面积为.

性质4 过点A作圆O的切线AC(C为切点),则CP,CQ分别为∠ACB的内、外角平分线.

性质5过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分∠EAF.

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于λ的曲线(圆)上,不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为λ.

注波罗尼斯(Apolloning,约公元前260～170),古希腊数学家,与欧几里得,阿基米德等齐名.著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书.

性质1当λ＞1时,点B在圆O内,点A在圆O外;当0＜λ＜1时,点A在圆O内,点B在圆O外.

性质2 因AC2=AP·AQ,过AC是圆O的一条切线.若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.

三、高考中的阿波罗尼斯圆

例1(2005江苏)如图3,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM、

PN(M,N分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.

图3

图4

解以O1,O2的中点O为原点,O1,O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则O1(−2,0),O2(2,0).由已知,得PM2=2PN2.因为两圆的半径均为1,所以

例2(2013江苏)在平面直角……