■河南省南阳市第一中学 王 策

排列组合、二项式定理知识结构与拓展

■河南省南阳市第一中学 王 策

一、知识结构框架

二、结构分析

本章是高中数学中相对独立的内容,也是密切联系实际的一部分。正确区分和使用两个原理是解决计数问题的关键。利用分类计数原理时,所分的每一类都可以独立地解决问题。利用分步计数原理时,需要依次完成每一步才能解决问题;仔细审题,分清允许重复还是不允许重复,才能正确选择利用排列还是组合。两个基本性质(组合数的两个性质)、两个基本公式(排列数公式和组合数公式)、组合数的两个性质、两个基本规定(0!=1和C0n=1)是进行运算的利器。有些复杂的问题,既要“分类”,又要“分步”,应明确按什么标准“分类”、“分步”,不同的标准,可以有不同的解法,解题时应择优而行。

(a+b)n其实就是n个a+b相乘,在每一个a+b中选择a还是选择b是个问题,通项公式解决了这个问题。展开式包含了次数、项数、系数、顺序等诸因素,其中最丰富的是二项式系数的性质,熟练掌握这些基本理论和基本方法是解决二项式问题的基础。

三、实例分析

例1 3本相同的小说和2本相同的诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有( )。

A.2 4种 B.2 8种 C.3 2种 D.3 6种

解析：把5本书分给4名同学,每名同学至少1本,那么这4名同学中有且仅有1名同学分到2本书。

解法1：分类优先。设3本相同的小说都是a,2本相同的诗集都是b,则1名同学分到2本书有三类情况:第一类a a、a、b、b,这种情况有);第二类b b、a、a、a,这种情况有第三类a b、a、a、b,这种情况有。……