李隽易

近期在解决一道与解三角形相关的模考题（如下）时，学生们发现从“化角”与“化边”两个不同的思路进行求解，竟然得到了截然不同的答案，这引发了班级的大讨论.

分析 从解答的结果来看，解法1与解法2得到的取值范围差异极大，不仅范围不同，左右端也完全不相同.从解法1来看，S+8 2 cosAcosC=8 2 cos（2A- 3π 4 ）≤8 2 恒成立，解法2的解答肯定不准确;从解法2来看S+8 2 cosAcosC= ac 2 2  + 24 2  ac ≥4 3 ，解法1认为S+8 2 cosAcosC>-8也肯定将范围缩放的太大了.那么该问题的解答是不是[4 3 ，8 2 ]呢？如果是，又该如何完善解法1与解法2呢？

3   讨论探究

经过教师引导与学生讨论，发现解法1的本质在于将问题转化为求关于角A的函数的值域问题，其可改进的地方在于需进一步考察角A的取值范围，得到更精确的定义域.而解法2的特点在于通过运用基本不等式得到表达式的最小值，其可以改进的地方有两点.其一，需深入探究“等号”是否真的能够取到;其二，由于运用基本不等式难以求得表达式的最大值，因此不妨将问题转化为求关于ac的函数的值域问题.与解法1相似，问题的焦点集中于探寻ac的取值范围.

基于这些认识，学生们给出了如下改进方案.

方案1  因为a2-c2=2b=8>0，所以a>c，进而有A>C，即A> 3π 4 -A，所以A> 3π 8 .又因为0<A< 3π 4 ，所以 3π 8 <A< 3π 4 ，进而得到S+8 2 cosAcosC∈（-8，8 2 ）.

分析该方案注意到了A>C这个条件，进而缩小了角A的取值范围.尽管仍然没有解决最初提出的[4 3 ，8 2 ]的猜想，但是将这一范围缩小到了 [4 3 ，8 2 ）.这虽是解答改进的一小步，却是学生观念变化的一大步.学生发现原有的解法确实存在缺陷，甚至[4 3 ，8 2 ）也可能还不是……