广东省深圳外国语学校 (518083)

刘小梅

例析解析几何中最值问题的求解方法

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刘小梅

解析几何最值问题的求解是高考高频考点，也是考试难点.教学中发现，解决该类问题通常有以下三种方法：即函数转换法，均值不等式法及几何法.下面列举数例予以说明.

图1

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(显然用一次函数的单调性一步解决问题)

(2)联立直线AP与BQ的方程

所以|PA||PQ|=-(k-1)(k+1)3.

接下来的处理有以下方法.

图2

评析：从以上三种解法不难发现，如果能挖掘出题中图形的一些几何性质，运用几何法是求解此类问题最简捷的方法.

注：本题也可以通过椭圆的参数方程将问题转化为三角函数的最值求解.设点P(acosθ,bsinθ)，通过两点间的距离公式化简后得到|PF|=|a+ccosθ|，由于-1≤cosθ≤1，a>c，易求|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

图3

解法二：(几何法)如图3，根据三角形的性质易得ΔPF1F2中，|PF1|<|PF2|+|F1F2|，当P,F1,F2三点共线时，|PF1|=|PF2|+|F1F2|或|PF1|=|PF2|-|F1F2|,所以|PF2|-|F1F2|≤|PF1|≤|PF2|+|F1F2|,令|PF1|=m,则|PF2|=2a-m，2a-m-2c≤m≤2a-m+2c，a-c≤m≤a+c,求得|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

注：本题还可以利用椭圆的第二定义及焦半径公式求焦半径的最值.在求离心率的取值范围中经常运用焦半径的取值范围.

解：令|PF1|=m,|PF2|=n，∠F1PF2=θ，则m+n=2a,|F1F2|=2c,ΔPF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncosθ，

评析：本题的求解结合了椭圆的定义、余弦定理、余弦函数的单调性、均值不等式等多知识的交汇，说明并不是每一个解析几何最值问题都只是用到以上介绍的三种方法.所以慢审题，快解题，选对方法就是上策.