四川省成都市第七中学高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考数学天津卷压轴题的高等数学背景

四川省成都市第七中学高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考数学天津卷压轴题含有深刻的高等数学背景，即刘维尔(Liouville)不等式的背景.

题目(2017年高考数学天津卷理科压轴题) 设a∈Z，已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2]，函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求证h(m)h(x0)<0；

笔者在看到此题第3小问时，便觉得似曾相识，翻阅资料，最终在《微积分的历程 从牛顿到勒贝格》[1]一书中找到了相关的描述，也即所谓的“刘维尔(Liouville)不等式”.十九世纪初的大数学家约瑟夫·刘维尔(JosephLiouville，1809.3.24—1882.9.8)向当时数学学科中一个难题发出了挑战，即超越数的存在性. 所谓超越数，即那些不能表示为任何具有整系数的方程之解的数，反之则为代数数.在当时，超越数仅仅是被定义出来，其存在性尚未可知，而对于颇受关注的常数π和e，数学家们亦仅仅是猜测其具有超越性，但对此的证明均无法给出.刘维尔通过精心而巧妙的几个步骤，构造并证明了数学史上第一个超越数.而刘维尔不等式，即是他解决难题的一个桥梁.

假定x0是一个无理数代数数.按照刘维尔的表示法，我们用

f(x)=axn+bxn-1+cxn-2+…+gx+h

表示它的次数最低的多项式，其中a,b,c,…,g,h∈Z，n≥2(如果n=1，那么x0显然应该是一个有理数，这与假设内容不符)，从而：

刘维尔不等式如果x0是次数最低的整系数多项式函数

证明:这里给出一个较于刘维尔证明方法更简单的替代方法.

对多项式函数f(x)求导，即f′(x)=naxn-1+(n-1)bxn-2+(n-2)cxn-3+…+g.

这个(n-1)次多项式在区……