厦门大学附属实验中学 (363123)

林秋林

拨开云雾见青天
——探求分式函数“背后”的函数

厦门大学附属实验中学 (363123)

林秋林

事实上，在高中学习中我们碰上的分式函数都是从一些基本的分式函数变形而来，并且我们可以追寻其变形的“足迹”，将其化归到一些简单的函数来求解.笔者把每一个分式函数可以化归到的一个简单函数称为这个分式函数“背后”的函数.于是如何找到每一个复杂的分式函数“背后”的函数则成为解决这类问题的关键，而它们“背后”的函数其中就包括了如下这两类基本的分式函数:

图1 图2

图3 图4

我们可以通过“凑配分离”或“换元分离”的方法，找出分式函数“背后”的函数，再利用它们来解决问题，就可起到事半功倍的作用，即所谓“拨开云雾见青天”.以下我们仅就常见的几种复杂的分式函数进行分类讨论.

一、一次分式函数f(x)=(c≠0,ad≠bc)

图5

(Ⅰ)若袋中共有10个球，(ⅰ)求白球的个数；(ⅱ)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ.

二、二次分式函数f(x)=(a2+d2≠0)

此类型形式多样，主要可分为下面几种情形：

图6

例6 如图6,设F1,F2是椭圆3x2+2y2=6的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求ΔABF2面积的最大值，并确定取得最大值时弦AB的位置.

令t=2k2+3，则t∈[3,+∞).

三、复合型分式函数f(x)=(c≠0,ad≠bc)，其中g(x)为非多项式函数

严格来说，此类型的函数f(x)不是分式函数，但是我们可以参照解分式函数的思路，利用“凑配分离”的方法，同样可以通过探求f(x)“背后”的函数来解决此类有关题型.

(1)判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)判断f(x)的单调性，并加以证明；……