江西省萍乡中学 (337000)

黄贤锋

探究一道高考题几何背景的心路历程

江西省萍乡中学 (337000)

黄贤锋

众所周知，解析几何首先是几何.“代数”只是我们解决几何问题时用到的工具，学生在解答过程中，首先要将几何图形的性质用代数的语言来描述，最终是通过坐标的代数运算来研究几何图形的性质，“几何”是我们思考的起点和终点，也是问题的缘起和归宿.历年高考中的圆锥曲线解答题除考查解析几何基本思想之外，均富有深刻的几何内涵，下面就2017年高考全国Ⅱ卷第20题为例，谈谈对其几何本质的探究过程.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程；

试题考查了动点轨迹问题、直线在运动变化过程中过定点的问题，结论的“几何味”颇浓，而题设条件却是“向量的数乘、数量积”等代数关系式，这些数量关系是如何影响或决定图形中的点、线位置关系的呢？该试题的几何本质特征是什么呢？笔者带着这些问题开启了探究之路.

一、转化条件，揭示几何特征

图1

图2

类似地，在双曲线中也有如下结论.

图3

(证明过程从略)

二、弱化条件，探究几何规律

当笔者想把结论推广到抛物线中时，似乎遇到了障碍，反思上述结论，突然发现条件和结论之间仅仅是数量关系之间的内在联系，和曲线的形状好像无关，于是，决定淡化圆锥曲线这个“背景”，探究更一般的规律，于是得到：

探究至此，深感这道高考试题的综合性之强，几何背景之深厚，试题的本质最终回归到平面几何中的重要定理——圆……