多面体体积计算中的多种思维方法

2017-12-29江苏省沭阳高级中学陈淮阳

中学生数理化(高中版.高考数学) 2017年11期

江苏省沭阳高级中学陈淮阳

多面体体积计算中的多种思维方法

江苏省沭阳高级中学陈淮阳

编者的话:“经典题突破方法”栏目里例、习题选名校模拟题或三年高考真题,推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法,通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思,无疑是同学们学习的一条捷径,愿同学们不断在反思中进步,在反思中收获!

对于空间几何体的体积问题,依据题设的特殊性可以用公式法、割补法、等积变换法、分割法、补形法等求解,凸显“非规则体化为规则体”的整体思维的具体应用。本文探究几何体体积计算中的多种思维方法。

一、公式法求体积时的多种思维方法

图1

例1 如图1,在三棱柱A1B1C1-A B C中,D,E,F分别是A B,A C,A A1的中点。设三棱锥F-A D E的体积为V1,三棱柱A1B1C1-A B C的体积为V2,则V1∶V2=。

解法1:注意三棱锥和三棱柱它们的底面和高之间的关系,可用公式法求体积比。设三棱锥F-A D E的高为h,则

解法2:构造辅助的三棱锥。连接A1C,AB,则V=V,而VV,所11A1-ABCA1-ABC2以V=V。12

解法3:特殊化处理。若三棱柱A1B1C1-A B C为正三棱柱,设A B=2,A A1=2,则V2=S h=×22×2=2,V1××1=,所以V∶V=1∶2 4。12

感悟:柱、锥、台的体积计算,确定底面面积和高,用公式V=S h或V=S h或柱体锥体V=(S+S S′+S′)h求解,关键是合台体理选择底面,寻求顶点在底面上的射影。对于体积比的问题,合理设元,沟通关系,分割成常见的规则体,利用加减法得到锥体与非规则体的体积比。

二、三棱锥体积求解中的“公式法”和“直截面分割法”

例2 已知三棱锥S-A B C的所有顶点都在球O的球面上,S C是球O的直径。若平面S C A⊥平面S C B,S A=A C,S B=B C,三棱锥S-A B C的体积为9,则球O的表面积为____。

解法1:取S C的中点O,连接O A,O B,因为S A=A C,S B=B C,所以O A⊥S C,O B⊥S C。因为平面S A C⊥平面S B C,所以O A⊥平面S B C。设O A=r,S C是球O的直径,S A=A C,S B=B C,则 R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形,且斜边为2r,高为r,所以=×S×O A=×△SBC×2r×r×r==9,所以r=3,所以球的表面积为=3 6 π。

解法2:取S C的中点O,连接O A,O B,因为S A=A C,S B=B C,所以O A⊥S C,O B⊥S C,S C⊥平面O A B。因为平面S A C⊥平面S B C,所以O A⊥平面S B C,而S C是球O的直径,则R t△S B C,R t△S A C是等腰直角三角形。设O A=r,则O B=r,且△A O B为等腰直角三角形,于是有VA-SBC=×S×S C=××r×r×2r=r3△AOB=9,所以r=3,则球的表面积为4 πr2=3 6 π。

感悟:对于三棱锥的体积问题,可以任选一面作底面,然后求出该底面对应的高。关于棱对称的特殊三棱锥,通过作此棱的直截面,将三棱锥分割成共底面的两个三棱锥,该侧棱就是两个小三棱锥高的和。

三、三棱锥体积计算中的“等积变换法”和“分割法”

例3 如图2所示,三棱锥A-B C D中,A B⊥平面B C D,C D⊥B D。

(1)求证:C D⊥平面A B D;

(2)若A B=B D=C D=1,M为A D的中点,求三棱锥AMB C的体积。

解析:(1)因为A B⊥平面B C D,C D⊂平面B C D,所以A B⊥C D。又因为C D⊥B D,A B∩B D=B,A B⊂平面A B D,B D⊂平面A B D,所以C D⊥平面A B D。

图2

(2)解法1:(等积变换法)由A B⊥平面B C D,得A B⊥B D。因为A B=B D=1,所以S=×1×1=。因为M是A D的△ABD中点,所以S=S=×=。△BDM△ABD由(1)知,C D⊥平面A B D,所以三棱锥C-A BM的高h=C D=1,因此三棱锥AMB C的体积V=V=×C D×A-MBCC-DBMS=·1·=。△BDM1解法2:(体积分割法)由A B⊥平面B C D,得平面A B D⊥平面B C D,且平面A B D∩平面B C D=B D。

图3

如图3所示,过点M 作MN⊥B D于点N,则MN⊥平面B C D,且MN=A B=。又C D⊥B D,B D=C D=1,所以S=,所以三棱锥A-MB C△CBD的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=(A B-MN)·S=××=。△BCD

感悟:求三棱锥的体积,等积变换是常用的方法,转换原则是换底使高易求或底面放在已知几何体的某一面上;求不规则几何体的体积,常用分割或补形的方法,将不规则几何体转化为规则几何体求解。

四、三棱锥体积计算中的“等积变换法”和“特殊化”

例4 如图4,已知正方体A B C DA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段A A1,B1C上的点,则三棱锥D1-E D F的体积为____。

图4

解法1:(等积变换法)三棱锥D1-E D F的体积即为三棱锥F-DD1E的体积。因为E,F分别为A A1,B1C上的点,所以在正方体A B C DA1B1C1D1中,△E DD1的面积为定值,F到平面A ADD的距离为定11值1,所以V=××1=。F-DD1E

解法2:(特殊化)E点移到A点,F点移到C点,则V=V=××1×1D1-EDFD1-ADC×1=。

感悟:把握正方体的特征,合理选择底面使高易求,解法1中注意到△E DD1的面积为定值,F到面E DD1的距离为1,从而使问题简单化;解法2中利用点的特殊性对点进行移动,转化为对特殊四面体的体积求解,凸显等价转化思想的具体应用。

五、正四面体体积计算中的“公式法”和“割补法”

例5 底面边长为2的正三棱锥P-A B C,其表面展开图是△P1P2P3,如图5,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V。

图5

解析:在△P1P2P3中,P1A=P3A,P2C=P3C,所以A C是中位线,故P1P2=2A C=4。同理,P2P3=4,P3P1=4。所以△P1P2P3是等边三角形,各边长均为4,则三棱锥P-A B C是边长为2的正四面体。

解法1:(公式法)如图6,设顶点P在底面A B C内的投影为O,连接B O,并延长交A C于点D,所以D为A C的中点,O为△A B C的重心,P O⊥底面A B C,所以B O=B D=,P O=,V=··2·2··=。解法2:如图7,把正四面体P-A B C补形为正方体A D B EG PHC。设正方体的棱长为a,则有a2+a2=22,解得a=,所以V=()3-4···)2=。

图6

图7

感悟:在棱长为1的正方体中割出一个内接正四面体后,还“余下”4个正三棱锥。每个正三棱锥的体积均为,故内接正四面体的体积为。

六、三棱锥体积计算中的“补形法”

图8

例6 在四面体A B C D中,设A B=1,C D=3,直线A B与C D的距离为2,夹角为,则四面体的体积等于____。

解法1:如图8,将四面体A B C D补成四棱锥A-B D C E,且B E∥C D,B E=C D,则∠A B E=或2,B E=,C D∥面A B E,所以C D与A B的距离,即为C D到平面A B E的距离,即C到平面A B E的距离,也就是三棱锥C-A B E的高h=2,所以VA-BCD=VA-BEC=VC-ABE=S=×2××A B×B E×△ABEs i n=。

解法2:如图9,把四面体A B C D补成三棱柱A B E-F C D,则面A B E∥面C D F,A B∥C F,且C F=1,则A B与C D的距离就是平面A B E与平面F C D的距离,即三棱柱的高h=2,且∠D C F=或。所以V=S·h=×柱△FCDC D×C F×s i n×2=,故四面体的体积V=V=。A-BCD柱