黑龙江省大庆市实验中学高三(7)班 赵艺泽

求平面法向量的新方法

黑龙江省大庆市实验中学高三(7)班 赵艺泽

笔者通过对高考理科试卷中立体几何题的第二问的研究,发现了较好的求平面的法向量的方法,在此与同学们分享,希望对解答平面的法向量问题有所启迪,争取高考立体几何题拿到满分。

一、法向量的求法

通常的解法计算量比较大,易出错。笔者经做题发现,可以将空间向量类比平面向量。由于直线A x+B y+C=0的法向量是m=(A,B),合情推理并证明,可得出以下结论。

结论1:设平面α过空间直角坐标系的原点O,设平面α的方程为A x+B y+C z=0,则m=(A,B,C)是平面α的法向量。

结论2:设平面α平行于空间直角坐标系的某一个坐标轴。

①O x∥α,设平面α与y轴、z轴的交点分别为(0,b,0)和(0,0,c),则平面α的方程为+=1,则m=(0 ,,)是平面α的法向量。

②O y∥α,设平面α与x轴、z轴的交点分别为(a,0,0)和(0,0,c),则平面α的方程为+=1,则m=(, 0,)是平面α的 法向量。

③O z∥α,设平面α与x轴、y轴的交点分别为(a,0,0)和(0,b,0),则平面α的方程为+=1,则m=(,,0)是平面α的 法向量。

结论3:设平面α不过空间直角坐标系的原点O,设平面α的方程为++= 1,则m=(,,)是平面α的法向量。

二、方法的应用

例题 如图1,直棱柱A B C-A1B1C1中,D,E分别是A B,B B1的中点,A A1=A C=C B=B。

(1)证明:B C1∥平面A1C D;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值。

图1

解析:(1)略。

(2)因为C1C⊥平面A B C,A A1=A C=C B=A B,所以C C,C A,C B两两垂直1设A A1=A C=C B=1,按如图2的方式建立空间直角坐标系。

图2

此类问题通常属于难度较高问题,但只要抓住内在规律,化繁为简,化抽象为形象加上一些耐心和细心,再复杂的问题也会迎刃而解。数学是这样,其他学科也是如此,希望笔者的体会对同学们有所帮助。

(责任编辑 刘钟华