培养数学逆向思维提高解题效率
2017-12-20朱佳峥
朱佳峥
逆向思维作为一种重要的思维方式，历来受到人们的广泛重视，它在数学教学中的作用十分重要，它是当前素质教育中不可忽视的内容之一。培养逆向思维，是提高学生的解题速度和解题技巧的重要策略。但由于逆向思维问题具有条件隐蔽、背景复杂、形式多样、头绪纷繁的特点，一直以来多被学生视为难题而敬而远之。事实上，此类问题的解决并非无章可循，本文试就逆向思维题目的几种典型类型进行阐释。
一、因式的分解型逆向思维
例1 （ - ）2（8+2 ）.
分析 《因式分解》这一章内容从始至终都贯穿了逆向思维教学，加强逆向思维教学，有助于开拓学生解题思维，丰富学生解题经验，提高解题的灵活性。例1此题按照运算顺序从先算平方，再按多项式法则展开、合并这一常规解法非常困难，如果注意到8+2 这个式子的结构特征，这个式子能分解因式成（ + ）2，故原式等于（ - ）2（ + ）2，此时再逆用积的乘方公式即可.
解 ∵8+2
=5+3+2
=
∴原式=（ - ）2（ + ）2
=[（ - ）（ + ）]2
=22=4.
类比练习：
二、逆运算型逆向思维
例2 化简：（x-1）
分析 运用恰当的运算律是使运算题简便的基础方法之一，而运算率的核心就是改变运算顺序。有时，逆运算能大幅降低运算难度。如例2，大多数学生习惯于先将 化简，再将整个式子化简，如果将根式外的因式（x-1）移到根号内，则能大幅度降低运算难度。但是，此时需要注意因式（x-1）值的正负性.这一想法的依据是公式a= （a≥0）.
解 有意义的条件为 ，则x-1<0，即x-1为负数.
∴原式=
说明 化简的依据是公式a= （a≥0），即公式 =a（a≥0）的逆用.应注意二次根式有意义的条件（被开放式为非负数），还要注意根式内“移”出的数应是非负数，“移”进的数也应是非负数.
三、由结果寻求条件型逆向思维
例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，对称轴是点线x=1.下列结论：
①abc>0，②2a+b=0，③62—4ac
其中正确的是（ ）
（A）①③ （B）只有② （C）②④ （D）③④
解析 对选项①，结合图象需确定系数a、b、c的正负性，由抛物线开口方向向上，得a>0，依据“左同右异”的规律，得b<0，由抛物线与y轴的正半轴相交，得c>0，故abc<0.
对选项②，是关于a，b的式子，故此想到对称轴x=- .由- =1，得b=-2a，即2a+b=0.对选项③，欲判断b2-4ac的正负性，需看抛物线和x轴的交点个数，由抛物线和x轴有两个交点，得b2-4ac>0.
对选项④，4a+2b+c是x=2对应的函数值，根据抛物线的对称性，知抛物线和x轴的右交点的横坐标小于2，故4a+2b+c>0.
综上，选C.
四、反向变换型逆向思维
例4抛物线y=x2+bx+c的图象
先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函
数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为（ ）
（A）b=2，c=-6 （B）b=2，c=0 （C）b=-6，c=8 （D）b=-6，c=2
解析 根据运动的相对性，知抛物线y=（x-1）2-4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线y=x2+bx+c.
由于抛物线y=（x-1）2-4的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（-1，-1），所以y=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故选B.
五、从问题的反面进行思考型逆向思维
例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围.
分析 由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可以先从这个问题的反面，即三个方程均无实根的角度来考虑，即从△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范圍，再从实数中排除这个k的取值范围.
解 ∵△1=8k+9<0，
△2=8k+12<0，
△3=20k-15<0，
得k<- .
因此，当k≥- 时，三个方程中至少有一个方程有实数根.
六、从“配角”变“主角”型逆向思维
例6 在关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，当a为何值时，方程至少有一个整数根？
分析 因为题眼是“关于x”，所以大多数学生习惯于用求根公式将x用a的式子表示，接下来通过x为整数去求正整数a的值，这样的计算比较繁琐.此时，不妨尝试一下将系数a用未知数x的式子表达，这样能二次方程降为一次方程.
解 ∵ax2+2（2a-1）x+4a-7=0
∴当a=5，a=1时，原方程至少有一个整数根.
说明：将“主角”和“配角”变换一下角色，起到了另辟蹊径的效果；同时变形的中用了“裂项”法，它本身就是一种逆向思维，变形的目的是为“整除”服务的.
